لقد تعلمنا بالفعل كيفية تمثيل نقطة وخط على محور إحداثيات باستخدام الإحداثيات الديكارتية. في هذا الدرس ، سنتناول صيغًا معينة تتعلق بنقطتين في المستوى ونشتق أيضًا معادلة خط مستقيم.
لنفترض أن النقطة P تقع على القطعة المستقيمة AB.
P يقسم AB داخليًا في نسبة AP: PB. في الشكل أعلاه ، تقسم النقطة P AB داخليًا بنسبة 2: 3.
سنقوم هنا بإيجاد إحداثيات النقطة التي تقسم داخليًا الخط الذي يربط بين نقطتين معينتين في نسبة معينة. لنفترض أن أ (س 1 ، ص 1 ) وب (س 2 ، ص 2 ) هما النقطتان المعطاة و P (س ، ص) هي نقطة على الخط AB الذي يقسم الخط إلى نسبة م 1 : م 2 ، ثم إحداثيات P هي
\(x = \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1+m_2}\\ y= \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1+m_2}\\\) |
ماذا ستكون إحداثيات نقطة المنتصف؟
بوضع م 1 = 1 ، م 2 = 1 ، إحداثيات نقطة المنتصف هي:
\(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\)
مثال : ابحث عن إحداثيات النقطة التي تقسم الخط الذي يربط بين النقطتين (4 6) و (-4 ، 2) داخليًا بنسبة 1: 3.
الحل :
\(x = \frac{(1\times-4) + (3 \times4)}{1+3} = \frac{8}{4} = 2\)
\(y = \frac{(1\times2) + (3 \times6)}{1+3} = \frac{20}{4} = 5\)
الجواب : (2 ، 5) إحداثيات النقطة.
ميل (أو انحدار) الخط المستقيم هو ظل الزاوية التي يصنعها جزء الخط الموجود أعلى المحور x بالاتجاه الإيجابي للمحور x.
يشار إلى منحدر الخط بالحرف "م".
AP هو جزء من الخط فوق المحور x و \(\angle XAP = \theta\) ثم \(m = \tan\theta\) . تُقاس الزاوية من الاتجاه الإيجابي للمحور x في عكس اتجاه عقارب الساعة إلى الجزء من الخط الموجود أعلى المحور x.
منحدر خط يربط بين نقطتين
لنفترض أن أ (س 1 ، ص 1 ) وب (س 2 ، ص 2 ) تكون نقطتين. لنفترض أن θ يكون ميل الخط AB مع المحور x إذن
شكل منحدر-تقاطع لخط
إذا التقى خط مستقيم l بالمحور x عند A والمحور y عند B إذن
(ط) يسمى OA التقاطع الذي يتم إجراؤه بواسطة الخط الموجود على المحور x أو ببساطة تقاطع x.
(2) يُطلق على OB التقاطع الذي يتم إجراؤه بواسطة الخط الموجود على المحور y أو ببساطة تقاطع y.
لنفترض أن P هي أي نقطة على الخط l بإحداثياتها (x ، y). يصنع الخط l زاوية θ مع المحور X ويكون تقاطعها OB على المحور y هو c.
تان θ = م
ظل الزاوية يساوي ميل الخط المستقيم.
معادلة الخط المستقيم بميله m وتقاطع y مع c هي y = mx + c.
شكل نقطة واحدة لخط مستقيم
معادلة الخط المستقيم الذي يمر عبر نقطة معينة (x 1 ، y 1 ) والميل m هو:
ص - ص 1 = م (س - س 1 )
شكل نقطتين لخط مستقيم
معادلة الخط المستقيم المار بنقطتين (x 1 ، y 1 ) و (x 2 ، y 2 ) وميله m هي:
\(\mathbf {y - y_1 = \frac {y_1 - y_2}{x_1 - x_2} ( x - x_1) }\)
مثال : أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة (-1 ، -2) وميله يساوي 4/5.
الحل : المعادلة المطلوبة هي
\(y - (-2) = \frac{4}{5}{{x - (-1)}} \\ y + 2 = \frac{4}{5} (x + 1) \\ 5y + 10 = 4x + 4 \\ -4x + 5y = -6\)
الجواب : -4 س + 5 ص = -6 هي معادلة الخط المستقيم.
مثال : أوجد ميل وتقاطع y لـ y = 3x + 5.
الحل : بالمقارنة مع y = mx + c ، نحصل على m = 3 و c = 5
الجواب : الميل = 3 ، التقاطع = 5
شكل تقاطع لخط مستقيم
معادلة الخط المستقيم الذي يقطع التقاطع أ وب من المحاور هي:
