আমরা ইতিমধ্যে শিখেছি কিভাবে কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে একটি স্থানাঙ্ক অক্ষের একটি বিন্দু এবং একটি রেখাকে উপস্থাপন করতে হয়। এই পাঠে, আমরা সমতলের দুটি বিন্দু সম্পর্কিত নির্দিষ্ট সূত্র গ্রহণ করব এবং একটি রেখার সমীকরণও বের করব।
বিন্দু P বিবেচনা করুন রেখাখণ্ড AB-তে অবস্থিত।
P AB কে অভ্যন্তরীণভাবে AP: PB অনুপাতে ভাগ করে। উপরের চিত্রে, বিন্দু P AB কে অভ্যন্তরীণভাবে 2 : 3 অনুপাতে ভাগ করেছে।
এখানে আমরা বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করতে যাচ্ছি যা একটি প্রদত্ত অনুপাতে দুটি প্রদত্ত বিন্দুকে যুক্ত করে অভ্যন্তরীণভাবে বিভক্ত করে। ধরা যাক A (x 1, y 1 ) এবং B (x 2 , y 2 ) দুটি প্রদত্ত বিন্দু এবং P (x, y) হল AB রেখার একটি বিন্দু যা রেখাটিকে m 1 : m 2 অনুপাতে ভাগ করে, তারপর P এর স্থানাঙ্ক হল
\(x = \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1+m_2}\\ y= \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1+m_2}\\\) |
মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক কী হবে?
m 1 = 1, m 2 = 1 রাখলে, মধ্য-বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি হল:
\(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\)
উদাহরণ : 1:3 অনুপাতে অভ্যন্তরীণভাবে বিন্দু (4 6) এবং (-4, 2) যোগদানকারী রেখাকে বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি খুঁজুন।
সমাধান :
\(x = \frac{(1\times-4) + (3 \times4)}{1+3} = \frac{8}{4} = 2\)
\(y = \frac{(1\times2) + (3 \times6)}{1+3} = \frac{20}{4} = 5\)
উত্তর : (2, 5) বিন্দুর স্থানাঙ্ক।
একটি সরলরেখার ঢাল (বা গ্রেডিয়েন্ট) হল কোণের স্পর্শক যা x-অক্ষের উপরে রেখার অংশটি x-অক্ষের ধনাত্মক দিকনির্দেশনা দিয়ে তৈরি করে।
একটি রেখার ঢাল 'm' অক্ষর দ্বারা নির্দেশিত হয়।
AP হল x-অক্ষের উপরে রেখার অংশ এবং \(\angle XAP = \theta\) তারপর \(m = \tan\theta\) । কোণটি x-অক্ষের ধনাত্মক দিক থেকে x-অক্ষের উপরে রেখার অংশে একটি কাঁটার বিপরীত দিকে পরিমাপ করা হয়।
দুটি বিন্দুতে যোগদানকারী একটি রেখার ঢাল
A (x 1, y 1 ) এবং B (x 2 , y 2 ) দুটি বিন্দু হতে দিন। θ তাহলে x-অক্ষের সাথে AB রেখার প্রবণতা ধরা যাক
একটি লাইনের স্লোপ-ইন্টারসেপ্ট ফর্ম
যদি একটি সরল রেখা l A-তে x-অক্ষ এবং B-তে y-অক্ষের সাথে মিলিত হয়
(i) OA কে x-অক্ষের রেখা দ্বারা তৈরি করা ইন্টারসেপ্ট বা সহজভাবে x-ইন্টারসেপ্ট বলা হয়।
(ii) OB কে y-অক্ষের রেখা দ্বারা তৈরি করা ইন্টারসেপ্ট বা সহজভাবে y-ইন্টারসেপ্ট বলা হয়।
স্থানাঙ্ক (x, y) সহ l রেখার যেকোন বিন্দু P হতে দিন। রেখা l X-অক্ষের সাথে θ একটি কোণ তৈরি করে এবং যার y-অক্ষে OB বাধা দেয় c।
Tan θ = m
কোণের স্পর্শক রেখার ঢালের সমান ।
ঢাল m এবং y-ইন্টারসেপ্ট c সহ একটি সরল রেখার সমীকরণ হল y = mx + c।
একটি সরল রেখার এক-বিন্দু ফর্ম
একটি প্রদত্ত বিন্দু (x 1 ,y 1 ) এবং প্রদত্ত ঢাল m মধ্য দিয়ে যাওয়া সরলরেখার সমীকরণ হল:
y - y 1 = m ( x − x 1 )
একটি সরল রেখার দুই-পয়েন্ট ফর্ম
দুই-বিন্দু (x 1 ,y 1 ) এবং (x 2 ,y 2 ) এবং প্রদত্ত ঢাল m মধ্য দিয়ে যাওয়া সরলরেখার সমীকরণ হল:
\(\mathbf {y - y_1 = \frac {y_1 - y_2}{x_1 - x_2} ( x - x_1) }\)
উদাহরণ : বিন্দু (-1, -2) এবং 4/5 এর সমান ঢালের মধ্য দিয়ে সরলরেখার সমীকরণ খুঁজুন।
সমাধান : প্রয়োজনীয় সমীকরণ হল
\(y - (-2) = \frac{4}{5}{{x - (-1)}} \\ y + 2 = \frac{4}{5} (x + 1) \\ 5y + 10 = 4x + 4 \\ -4x + 5y = -6\)
উত্তর : -4x + 5y = -6 হল সরলরেখার সমীকরণ।
উদাহরণ : y = 3x + 5 এর ঢাল এবং y-ইন্টারসেপ্ট নির্ধারণ করুন।
সমাধান : y = mx + c এর সাথে তুলনা করলে আমরা পাব m = 3 এবং c = 5
উত্তর : ঢাল = 3, ইন্টারসেপ্ট = 5
একটি সরল লাইনের ইন্টারসেপ্ট ফর্ম
একটি সরল রেখার সমীকরণ যা অক্ষগুলি থেকে a এবং b কে বাধা দেয়:
