Wir haben bereits gelernt, wie man einen Punkt und eine Linie auf einer Koordinatenachse mit kartesischen Koordinaten darstellt. In dieser Lektion werden wir bestimmte Formeln für zwei Punkte in der Ebene aufgreifen und auch eine Geradengleichung ableiten.
Stellen Sie sich vor, Punkt P liegt auf dem Liniensegment AB.
P teilt AB intern im Verhältnis AP: PB. In der obigen Abbildung teilt Punkt P AB intern im Verhältnis 2 : 3.
Hier werden wir die Koordinaten des Punktes finden, der intern die Linie teilt, die zwei gegebene Punkte in einem gegebenen Verhältnis verbindet. Seien A (x 1, y 1 ) und B (x 2 , y 2 ) die zwei gegebenen Punkte und P (x, y) ist ein Punkt auf der Linie AB, der die Linie in das Verhältnis m 1 : m 2 teilt, dann die Koordinaten von P sind
\(x = \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1+m_2}\\ y= \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1+m_2}\\\) |
Wie lauten die Koordinaten des Mittelpunkts?
Setzt man m 1 = 1, m 2 = 1, so sind die Koordinaten des Mittelpunkts:
\(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\)
Beispiel : Finden Sie die Koordinaten des Punktes, der die Verbindungslinie der Punkte (4 6) und (-4, 2) intern im Verhältnis 1:3 teilt.
Lösung :
\(x = \frac{(1\times-4) + (3 \times4)}{1+3} = \frac{8}{4} = 2\)
\(y = \frac{(1\times2) + (3 \times6)}{1+3} = \frac{20}{4} = 5\)
Antwort : (2, 5) sind die Koordinaten des Punktes.
Die Steigung (oder Steigung) einer Geraden ist die Tangente des Winkels, den der Teil der Geraden oberhalb der x-Achse mit der positiven Richtung der x-Achse bildet.
Die Steigung einer Geraden wird durch den Buchstaben „m“ angegeben.
AP ist der Teil der Linie über der x-Achse und \(\angle XAP = \theta\) dann \(m = \tan\theta\) . Der Winkel wird von der positiven Richtung der x-Achse gegen den Uhrzeigersinn zu dem Teil der Linie oberhalb der x-Achse gemessen.
Steigung einer Linie, die zwei Punkte verbindet
Seien A (x 1, y 1 ) und B (x 2 , y 2 ) zwei Punkte. Sei θ dann die Neigung der Linie AB mit der x-Achse
NEIGUNGSABSCHNITT FORM EINER LINIE
Wenn eine Gerade l die x-Achse bei A und die y-Achse bei B trifft, dann
(i) OA wird als Schnittpunkt der Linie auf der x-Achse oder einfach x-Achsenabschnitt bezeichnet.
(ii) OB wird als Schnittpunkt der Linie auf der y-Achse oder einfach als y-Achsenabschnitt bezeichnet.
Sei P ein beliebiger Punkt auf einer Geraden l mit Koordinaten (x, y). Die Linie l bildet einen Winkel θ mit der X-Achse und deren Schnittpunkt OB auf der y-Achse ist c.
Tanθ = m
Der Tangens des Winkels ist gleich der Steigung der Geraden.
Die Gleichung einer Geraden mit Steigung m und y-Achsenabschnitt c ist y = mx + c.
EIN-PUNKT-FORM EINER GERADE LINIE
Die Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt (x 1 ,y 1 ) und eine gegebene Steigung m verläuft, lautet:
y - y 1 = m ( x - x 1 )
ZWEI-PUNKTE-FORM EINER GERADE
Die Gleichung einer geraden Linie, die durch zwei Punkte (x 1 ,y 1 ) und (x 2 ,y 2 ) verläuft, und eine gegebene Steigung m ist:
\(\mathbf {y - y_1 = \frac {y_1 - y_2}{x_1 - x_2} ( x - x_1) }\)
Beispiel : Finden Sie die Gleichung der geraden Linie durch den Punkt (-1, -2) und mit einer Steigung von 4/5.
Lösung : Die benötigte Gleichung ist
\(y - (-2) = \frac{4}{5}{{x - (-1)}} \\ y + 2 = \frac{4}{5} (x + 1) \\ 5y + 10 = 4x + 4 \\ -4x + 5y = -6\)
Antwort : -4x + 5y = -6 ist die Geradengleichung.
Beispiel : Bestimmen Sie die Steigung und den y-Achsenabschnitt von y = 3x + 5.
Lösung : Wenn wir mit y = mx + c vergleichen, erhalten wir m = 3 und c = 5
Antwort : Steigung = 3, Schnittpunkt = 5
SCHNITTFORM EINER GERADE
Die Gleichung einer geraden Linie, die die Schnittpunkte a und b von den Achsen abschneidet, lautet:
