Ya aprendimos cómo representar un punto y una recta sobre un eje de coordenadas usando coordenadas cartesianas. En esta lección, abordaremos ciertas fórmulas relativas a dos puntos en el plano y también derivaremos la ecuación de una línea.
Considere el punto P que se encuentra en el segmento AB.
P divide internamente a AB en la relación AP:PB. En la figura anterior, el punto P divide AB internamente en una proporción 2: 3.
Aquí vamos a encontrar las coordenadas del punto que divide internamente la recta que une dos puntos dados en una proporción determinada. Sean A (x 1, y 1 ) y B (x 2 , y 2 ) los dos puntos dados y P (x, y) es un punto en la recta AB que divide la recta en la relación m 1 : m 2 , entonces el las coordenadas de P son
\(x = \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1+m_2}\\ y= \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1+m_2}\\\) |
¿Cuáles serán las coordenadas del punto medio?
Poniendo m 1 = 1, m 2 = 1, las coordenadas del punto medio son:
\(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\)
Ejemplo : Encuentre las coordenadas del punto que divide la línea que une los puntos (4 6) y (-4, 2) internamente en la proporción 1:3.
Solución :
\(x = \frac{(1\times-4) + (3 \times4)}{1+3} = \frac{8}{4} = 2\)
\(y = \frac{(1\times2) + (3 \times6)}{1+3} = \frac{20}{4} = 5\)
Respuesta : (2, 5) son las coordenadas del punto.
La pendiente (o gradiente) de una línea recta es la tangente del ángulo que forma la parte de la línea sobre el eje x con la dirección positiva del eje x.
La pendiente de una recta se indica con la letra 'm'.
AP es la porción de la línea sobre el eje x y \(\angle XAP = \theta\) entonces \(m = \tan\theta\) . El ángulo se mide desde la dirección positiva del eje x en sentido antihorario hasta la parte de la línea sobre el eje x.
Pendiente de una recta que une dos puntos
Sean A (x 1, y 1 ) y B (x 2 , y 2 ) dos puntos. Sea θ la inclinación de la recta AB con el eje x, entonces
FORMA PENDIENTE-INTERCEPCIÓN DE UNA RECTA
Si una línea recta l corta el eje x en A y el eje y en B, entonces
(i) OA se denomina intersección formada por la línea en el eje x o simplemente intersección con el eje x.
(ii) OB se denomina intersección hecha por la línea en el eje y o simplemente intersección con el eje y.
Sea P cualquier punto de una recta l con coordenadas (x, y). La línea l forma un ángulo θ con el eje X y cuya intersección OB en el eje y es c.
Tan θ = m
La tangente del ángulo es igual a la pendiente de la recta.
La ecuación de una línea recta con pendiente my intercepto en y c es y = mx + c.
FORMA DE UNA LÍNEA RECTA DE UN PUNTO
La ecuación de una recta que pasa por un punto dado (x 1 , y 1 ) y con una pendiente m dada es:
y - y 1 = metro ( x - x 1 )
FORMA DE DOS PUNTOS DE UNA LÍNEA RECTA
La ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos (x 1 , y 1 ) y (x 2 , y 2 ) y dada la pendiente m es:
\(\mathbf {y - y_1 = \frac {y_1 - y_2}{x_1 - x_2} ( x - x_1) }\)
Ejemplo : Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto (-1, -2) y tiene pendiente igual a 4/5.
Solución : La ecuación requerida es
\(y - (-2) = \frac{4}{5}{{x - (-1)}} \\ y + 2 = \frac{4}{5} (x + 1) \\ 5y + 10 = 4x + 4 \\ -4x + 5y = -6\)
Respuesta : -4x + 5y = -6 es la ecuación de la línea recta.
Ejemplo : determine la pendiente y la intersección con el eje y de y = 3x + 5.
Solución : comparando con y = mx + c, obtenemos m = 3 y c = 5
Respuesta : Pendiente = 3, Intersección = 5
FORMA DE INTERCEPCIÓN DE UNA LÍNEA RECTA
La ecuación de una línea recta que corta a a y b de los ejes es:
