ما قبلاً یاد گرفتیم که چگونه یک نقطه و یک خط را در یک محور مختصات با استفاده از مختصات دکارتی نشان دهیم. در این درس، فرمول های خاصی را در مورد دو نقطه در صفحه و همچنین معادله یک خط استخراج می کنیم.
نقطه P را روی پاره خط AB در نظر بگیرید.
P AB را در داخل به نسبت AP: PB تقسیم می کند. در شکل بالا نقطه P AB را به نسبت 2:3 به صورت داخلی تقسیم می کند.
در اینجا مختصات نقطه‌ای را پیدا می‌کنیم که خطی را که به دو نقطه داده شده در یک نسبت معین به هم می‌پیوندد، در داخل تقسیم می‌کند. فرض کنید A (x 1, y 1 ) و B (x 2 , y 2 ) دو نقطه داده شده باشند و P (x, y) نقطه ای از خط AB است که خط را به نسبت m 1 : m 2 تقسیم می کند، سپس مختصات P هستند
\(x = \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1+m_2}\\ y= \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1+m_2}\\\) |
مختصات نقطه میانی چقدر خواهد بود؟
با قرار دادن m 1 = 1، m 2 = 1، مختصات نقطه میانی عبارتند از:
\(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\)
مثال : مختصات نقطه ای را پیدا کنید که خط اتصال دهنده نقاط (4 6) و (4-، 2) را در داخل به نسبت 1:3 تقسیم می کند.
راه حل :
\(x = \frac{(1\times-4) + (3 \times4)}{1+3} = \frac{8}{4} = 2\)
\(y = \frac{(1\times2) + (3 \times6)}{1+3} = \frac{20}{4} = 5\)
پاسخ : (2 و 5) مختصات نقطه هستند.
شیب (یا گرادیان) یک خط مستقیم، مماس زاویه ای است که بخشی از خط بالای محور x با جهت مثبت محور x ایجاد می کند.
شیب یک خط با حرف 'm' نشان داده می شود.
AP بخشی از خط بالای محور x و \(\angle XAP = \theta\) سپس \(m = \tan\theta\) است. زاویه از جهت مثبت محور x در جهت خلاف جهت عقربه های ساعت تا قسمتی از خط بالای محور x اندازه گیری می شود.
شیب خطی که دو نقطه را به هم وصل می کند
فرض کنید A (x 1, y 1 ) و B (x 2 , y 2 ) دو نقطه باشند. فرض کنید θ شیب خط AB با محور x باشد
شکل شیب-قطع یک خط
اگر یک خط مستقیم l با محور x در A و محور y در B ملاقات کند، آنگاه
(i) OA وقفه ایجاد شده توسط خط در محور x یا به سادگی X-برق نامیده می شود.
(ii) OB وقفه ایجاد شده توسط خط در محور y یا به سادگی y-برق نامیده می شود.
فرض کنید P هر نقطه روی یک خط l با مختصات (x,y) باشد. خط l یک زاویه θ را با محور X ایجاد می کند و فاصله آن OB روی محور y c است.
قهوهای مایل به زرد θ = m
مماس زاویه برابر با شیب خط است.
معادله یک خط مستقیم با شیب m و y-برق c برابر است با y = mx + c.
فرم یک نقطه ای از یک خط مستقیم
معادله یک خط مستقیم که از یک نقطه معین (x 1 ,y 1 ) می گذرد و شیب داده شده m برابر است:
y - y 1 = m ( x − x 1 )
فرم دو نقطه ای از یک خط مستقیم
معادله خط مستقیمی که از دو نقطه (x 1 ,y 1 ) و (x 2 ,y 2 ) می گذرد و شیب داده شده m برابر است:
\(\mathbf {y - y_1 = \frac {y_1 - y_2}{x_1 - x_2} ( x - x_1) }\)
مثال : معادله خط مستقیم را از نقطه (-1، -2) و دارای شیب برابر 4/5 بیابید.
راه حل : معادله مورد نیاز است
\(y - (-2) = \frac{4}{5}{{x - (-1)}} \\ y + 2 = \frac{4}{5} (x + 1) \\ 5y + 10 = 4x + 4 \\ -4x + 5y = -6\)
پاسخ : -4x + 5y = -6 معادله خط مستقیم است.
مثال : شیب و تقاطع y y = 3x + 5 را تعیین کنید.
راه حل : با مقایسه با y = mx + c، m = 3 و c = 5 را بدست می آوریم
پاسخ : شیب = 3، فاصله = 5
شکل خط مستقیم را قطع کنید
معادله یک خط مستقیم که برش a و b را از محورها قطع می کند:
