Nous avons déjà appris à représenter un point et une ligne sur un axe de coordonnées à l'aide de coordonnées cartésiennes. Dans cette leçon, nous allons reprendre certaines formules concernant deux points du plan et en déduire également une équation d'une droite.
Considérez que le point P se trouve sur le segment de droite AB.
P divise AB en interne dans le rapport AP: PB. Dans la figure ci-dessus, le point P divise AB en interne dans le rapport 2 : 3.
Ici nous allons trouver les coordonnées du point qui divise intérieurement la droite joignant deux points donnés dans un rapport donné. Soient A (x 1, y 1 ) et B (x 2 , y 2 ) les deux points donnés et P (x, y) est un point sur la droite AB qui divise la droite en rapport m 1 : m 2 , alors le les coordonnées de P sont
\(x = \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1+m_2}\\ y= \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1+m_2}\\\) |
Quelles seront les coordonnées du point médian ?
En mettant m 1 = 1, m 2 = 1, les coordonnées du milieu sont :
\(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\)
Exemple : Trouver les coordonnées du point qui divise la droite joignant les points (4 6) et (-4, 2) intérieurement dans le rapport 1:3.
Solutions :
\(x = \frac{(1\times-4) + (3 \times4)}{1+3} = \frac{8}{4} = 2\)
\(y = \frac{(1\times2) + (3 \times6)}{1+3} = \frac{20}{4} = 5\)
Réponse : (2, 5) sont les coordonnées du point.
La pente (ou pente) d'une droite est la tangente de l'angle que fait la partie de la droite au-dessus de l'axe des x avec la direction positive de l'axe des x.
La pente d'une droite est indiquée par la lettre 'm'.
AP est la partie de la ligne au-dessus de l'axe des abscisses et \(\angle XAP = \theta\) puis \(m = \tan\theta\) . L'angle est mesuré à partir de la direction positive de l'axe des x dans le sens inverse des aiguilles d'une montre jusqu'à la partie de la ligne au-dessus de l'axe des x.
Pente d'une droite joignant deux points
Soient A (x 1, y 1 ) et B (x 2 , y 2 ) deux points. Soit θ l'inclinaison de la ligne AB avec l'axe des abscisses alors
FORME D'INTERCEPTION DE LA PENTE D'UNE LIGNE
Si une droite l rencontre l'axe des x en A et l'axe des y en B alors
(i) OA est appelé l' ordonnée à l'origine faite par la ligne sur l'axe des x ou simplement l'ordonnée à l'origine.
(ii) OB est appelé l' interception faite par la ligne sur l'axe y ou simplement l'ordonnée à l'origine.
Soit P un point quelconque d'une droite l de coordonnées (x, y). La droite l fait un angle θ avec l'axe des abscisses et dont l'ordonnée à l'origine OB sur l'axe des ordonnées est c.
Tan θ = m
La tangente de l'angle est égale à la pente de la droite.
L'équation d'une droite de pente m et d'ordonnée à l'origine c est y = mx + c.
FORME EN UN POINT D'UNE DROITE
L'équation d'une droite passant par un point donné (x 1 ,y 1 ) et de pente m donnée est :
y - y 1 = m ( X - X 1 )
FORME À DEUX POINTS D'UNE DROITE
L'équation d'une droite passant par deux points (x 1 ,y 1 ) et (x 2 ,y 2 ) et de pente m donnée est :
\(\mathbf {y - y_1 = \frac {y_1 - y_2}{x_1 - x_2} ( x - x_1) }\)
Exemple : Trouver l'équation de la droite passant par le point (-1, -2) et ayant une pente égale à 4/5.
Solution : L'équation requise est
\(y - (-2) = \frac{4}{5}{{x - (-1)}} \\ y + 2 = \frac{4}{5} (x + 1) \\ 5y + 10 = 4x + 4 \\ -4x + 5y = -6\)
Réponse : -4x + 5y = -6 est l'équation de la droite.
Exemple : Déterminer la pente et l'ordonnée à l'origine de y = 3x + 5.
Solution : en comparant avec y = mx + c, on obtient m = 3 et c = 5
Réponse : Pente = 3, Interception = 5
FORME D'INTERCEPTION D'UNE LIGNE DROITE
L'équation d'une droite qui coupe les interceptions a et b des axes est :
