Back to the topics list

एक सीधी रेखा का अवरोधन रूप, एक सीधी रेखा का ढलान, खंड सूत्र

हम पहले ही सीख चुके हैं कि कार्तीय निर्देशांकों का उपयोग करके निर्देशांक अक्ष पर एक बिंदु और एक रेखा को कैसे निरूपित किया जाता है। इस पाठ में, हम समतल में दो बिंदुओं से संबंधित कुछ सूत्र लेंगे और एक रेखा का समीकरण भी व्युत्पन्न करेंगे।

बिंदु P पर विचार करें जो रेखा खंड AB पर स्थित है।

P AB को आंतरिक रूप से AP: PB के अनुपात में विभाजित करता है। उपरोक्त आकृति में, बिंदु P AB को आंतरिक रूप से 2:3 के अनुपात में विभाजित करता है।

डिवीजन या सेक्शन फॉर्मूला

यहाँ हम उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने जा रहे हैं जो दिए गए दो बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा को दिए गए अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है। मान लीजिए A (x _1, y ₁ ) और B (x ₂ , y ₂ ) दो दिए गए बिंदु हैं और P (x, y) रेखा AB पर एक बिंदु है जो रेखा को m ₁ : m ₂ के अनुपात में विभाजित करता है, तो P के निर्देशांक हैं

मध्य-बिंदु के निर्देशांक क्या होंगे?

m ₁ = 1, m ₂ = 1 रखने पर मध्य-बिंदु के निर्देशांक हैं:

\(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\)

उदाहरण : उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं (4 6) और (-4, 2) को मिलाने वाली रेखा को आंतरिक रूप से 1:3 के अनुपात में विभाजित करता है।

हल :

\(x = \frac{(1\times-4) + (3 \times4)}{1+3} = \frac{8}{4} = 2\)

\(y = \frac{(1\times2) + (3 \times6)}{1+3} = \frac{20}{4} = 5\)

उत्तर : (2, 5) बिंदु के निर्देशांक हैं।

एक सीधी रेखा का ढाल या ढाल

एक सीधी रेखा का ढलान (या ढाल) उस कोण की स्पर्शरेखा है जिसे x-अक्ष के ऊपर की रेखा का भाग x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ बनाता है।

एक रेखा की ढलान को 'm' अक्षर से दर्शाया जाता है।

AP x-अक्ष के ऊपर की रेखा का भाग है और \(\angle XAP = \theta\) तब \(m = \tan\theta\) है। कोण को x-अक्ष की धनात्मक दिशा से वामावर्त दिशा में x-अक्ष के ऊपर की रेखा के भाग तक मापा जाता है।

• एक रेखा का ढलान धनात्मक होता है यदि वह x-अक्ष के साथ घड़ी की विपरीत दिशा में न्यून कोण बनाती है। उदाहरण θ = 45° तो m = tan 45 = 1
• किसी रेखा का ढलान ऋणात्मक होता है यदि रेखा x-अक्ष के साथ घड़ी की विपरीत दिशा में अधिक कोण बनाती है। उदाहरण, = 135° तो m = tan 135 = -1
• यदि रेखाखंड x-अक्ष के समांतर है तो किसी रेखा का ढाल शून्य होता है।
• y-अक्ष के समानांतर एक रेखा का ढलान परिभाषित नहीं है।

दो बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा का ढाल

मान लीजिए A (x _1, y ₁ ) और B (x ₂ , y ₂ ) दो बिंदु हैं। मान लीजिए रेखा AB का x-अक्ष के साथ झुकाव है तो

\(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2-x_1}\)

• समान्तर रेखाओं की प्रवणताएँ समान होती हैं। अतः यदि m ₁ और m ₂ दो समान्तर रेखाओं के ढाल हैं तो m ₁ = m ₂ ।

• लंबवत रेखाओं की ढलानें एक दूसरे के ऋणात्मक व्युत्क्रम हैं। अतः यदि m ₁ और m ₂ दो लंबवत रेखाओं के ढलान हैं तो m ₁ m ₂ = -1।

एक रेखा का स्लोप-इंटरसेप्ट फॉर्म

यदि एक सीधी रेखा l x-अक्ष को A पर और y-अक्ष को B पर मिलती है तो

(i) OA को रेखा द्वारा x-अक्ष पर बनाया गया अवरोधन या केवल x-प्रतिच्छेद कहा जाता है।

(ii) OB को रेखा द्वारा y-अक्ष पर बनाया गया अवरोधन या केवल y-प्रतिच्छेदन कहा जाता है।

मान लीजिए P निर्देशांक (x, y) वाली रेखा l पर कोई बिंदु है। रेखा l X-अक्ष के साथ एक कोण बनाती है और जिसका y-अक्ष पर अंतःखंड OB c है।

तन = एम

कोण की स्पर्श रेखा रेखा के ढलान के बराबर होती है।

ढलान m और y-प्रतिच्छेद c वाली एक सीधी रेखा का समीकरण y = mx + c है।

सीधी रेखा का एक-बिंदु रूप

किसी दिए गए बिंदु (x ₁ , y ₁ ) और दिए गए ढलान m से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण है:

वाई - वाई ₁ = एम ( एक्स - एक्स ₁ )

एक सीधी रेखा का दो-बिंदु रूप

दो-बिंदु (x ₁ , y ₁ ) और (x ₂ , y ₂ ) और दिए गए ढलान m से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण है:

\(\mathbf {y - y_1 = \frac {y_1 - y_2}{x_1 - x_2} ( x - x_1) }\)

उदाहरण : बिंदु (-1, -2) से होकर जाने वाली सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका ढलान 4/5 के बराबर है।

हल : अभीष्ट समीकरण है

\(y - (-2) = \frac{4}{5}{{x - (-1)}} \\ y + 2 = \frac{4}{5} (x + 1) \\ 5y + 10 = 4x + 4 \\ -4x + 5y = -6\)

उत्तर : -4x + 5y = -6 सरल रेखा का समीकरण है।

उदाहरण : y = 3x + 5 का ढाल और y-प्रतिच्छेद ज्ञात कीजिए।
हल : y = mx + c से तुलना करने पर हमें m = 3 और c = 5 प्राप्त होता है
उत्तर : ढाल = 3, अवरोधन = 5

एक सीधी रेखा का अवरोधन रूप

एक सीधी रेखा का समीकरण जो अक्षों से अवरोधन a और b को काटता है, है:

\(\mathbf { \frac{x}{a} + \frac{y}{b} } = 1\)