Već smo naučili kako prikazati točku i pravac na koordinatnoj osi pomoću kartezijskih koordinata. U ovoj lekciji razmotrit ćemo određene formule koje se tiču dviju točaka u ravnini i također izvesti jednadžbu pravca.
Uzmimo da točka P leži na dužici AB.
P unutarnje dijeli AB u omjeru AP: PB. Na gornjoj slici točka P dijeli AB iznutra u omjeru 2 : 3.
Ovdje ćemo pronaći koordinate točke koja iznutra dijeli liniju koja spaja dvije dane točke u danom omjeru. Neka su A (x 1, y 1 ) i B (x 2 , y 2 ) dvije zadane točke i P (x, y) je točka na liniji AB koja dijeli liniju u omjeru m 1 : m 2 , tada je koordinate P su
\(x = \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1+m_2}\\ y= \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1+m_2}\\\) |
Koje će biti koordinate središnje točke?
Stavljajući m 1 = 1, m 2 = 1, koordinate središnje točke su:
\(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\)
Primjer : Pronađite koordinate točke koja iznutra dijeli liniju koja spaja točke (4 6) i (-4, 2) u omjeru 1:3.
rješenje :
\(x = \frac{(1\times-4) + (3 \times4)}{1+3} = \frac{8}{4} = 2\)
\(y = \frac{(1\times2) + (3 \times6)}{1+3} = \frac{20}{4} = 5\)
Odgovor : (2, 5) su koordinate točke.
Nagib (ili gradijent) ravne crte je tangens kuta koji dio crte iznad x-osi čini s pozitivnim smjerom x-osi.
Nagib linije označen je slovom 'm'.
AP je dio pravca iznad x-osi i \(\angle XAP = \theta\) zatim \(m = \tan\theta\) . Kut se mjeri od pozitivnog smjera x-osi u smjeru suprotnom od kazaljke na satu do dijela crte iznad x-osi.
Nagib pravca koji spaja dvije točke
Neka su A (x 1, y 1 ) i B (x 2 , y 2 ) dvije točke. Neka je tada θ nagib pravca AB s osi x
NAGIB-ODSJEČIK OBLIKA CRTE
Ako ravna linija l susreće x-os u A i y-os u B tada
(i) OA se naziva sjecište napravljeno pravcem na x-osi ili jednostavno x-presjecište.
(ii) OB se naziva sjecište napravljeno od linije na y-osi ili jednostavno y-presjecište.
Neka je P bilo koja točka na pravcu l s koordinatama (x, y). Pravac l zatvara kut θ s X-osi i čije je sjecište OB na y-osi c.
Tan θ = m
Tangens kuta jednak je nagibu pravca.
Jednadžba ravne crte s nagibom m i y-odsječkom c je y = mx + c.
JEDNOTOČKASTI OBLIK RAVNE CRTE
Jednadžba ravne linije koja prolazi kroz danu točku (x 1 ,y 1 ) i danog nagiba m je:
y - y 1 = m ( x − x 1 )
OBLIK RAVNE CRTE U DVIJE TOČKE
Jednadžba ravne linije koja prolazi kroz dvije točke (x 1 ,y 1 ) i (x 2 ,y 2 ) i zadanog nagiba m je:
\(\mathbf {y - y_1 = \frac {y_1 - y_2}{x_1 - x_2} ( x - x_1) }\)
Primjer : Pronađite jednadžbu ravne linije koja prolazi kroz točku (-1, -2) i ima nagib jednak 4/5.
Rješenje : Tražena jednadžba je
\(y - (-2) = \frac{4}{5}{{x - (-1)}} \\ y + 2 = \frac{4}{5} (x + 1) \\ 5y + 10 = 4x + 4 \\ -4x + 5y = -6\)
Odgovor : -4x + 5y = -6 je jednadžba ravne linije.
Primjer : Odredite nagib i y-odsječak od y = 3x + 5.
Rješenje : uspoređujući s y = mx + c, dobivamo m = 3 i c = 5
Odgovor : Nagib = 3, Odsjek = 5
PRESJEČNI OBLIK RAVNE CRTE
Jednadžba ravne crte koja odsijeca presjeke a i b od osi je:
