Abbiamo già imparato a rappresentare un punto e una linea su un asse di coordinate usando le coordinate cartesiane. In questa lezione, prenderemo alcune formule relative a due punti nel piano e ricaveremo anche un'equazione di una retta.
Considera che il punto P giace sul segmento di retta AB.
P divide AB internamente nel rapporto AP: PB. Nella figura sopra, il punto P divide internamente AB nel rapporto 2 : 3.
Qui andiamo a trovare le coordinate del punto che divide internamente la retta che congiunge due dati punti in un dato rapporto. Siano A (x 1, y 1 ) e B (x 2 , y 2 ) i due punti dati e P (x, y) sia un punto sulla retta AB che divide la retta nel rapporto m 1 : m 2 , allora il le coordinate di P sono
\(x = \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1+m_2}\\ y= \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1+m_2}\\\) |
Quali saranno le coordinate del punto medio?
Mettendo m 1 = 1, m 2 = 1, le coordinate del punto medio sono:
\(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\)
Esempio : Trovare le coordinate del punto che divide internamente la retta che unisce i punti (4 6) e (-4, 2) nel rapporto 1:3.
Soluzione :
\(x = \frac{(1\times-4) + (3 \times4)}{1+3} = \frac{8}{4} = 2\)
\(y = \frac{(1\times2) + (3 \times6)}{1+3} = \frac{20}{4} = 5\)
Risposta : (2, 5) sono le coordinate del punto.
La pendenza (o pendenza) di una retta è la tangente dell'angolo che la parte della retta al di sopra dell'asse x forma con la direzione positiva dell'asse x.
La pendenza di una linea è indicata dalla lettera 'm'.
AP è la parte della linea sopra l'asse x e \(\angle XAP = \theta\) quindi \(m = \tan\theta\) . L'angolo viene misurato dalla direzione positiva dell'asse x in senso antiorario alla parte della linea sopra l'asse x.
Pendenza di una retta che congiunge due punti
Siano A (x 1, y 1 ) e B (x 2 , y 2 ) due punti. Sia θ l'inclinazione della retta AB rispetto all'asse x allora
FORMA PENDENZA-INTERCETTA DI UNA LINEA
Se una retta l incontra l'asse x in A e l'asse y in B allora
(i) OA è chiamata l' intercetta fatta dalla linea sull'asse x o semplicemente x-intercetta.
(ii) OB è chiamato l' intercetta fatta dalla linea sull'asse y o semplicemente y-intercept.
Sia P un qualsiasi punto su una retta l di coordinate (x, y). La retta l forma un angolo θ con l'asse x e la cui intercetta OB sull'asse y è c.
Abbronzatura θ = m
La tangente dell'angolo è uguale alla pendenza della retta.
L'equazione di una retta con pendenza m e intercetta y c è y = mx + c.
FORMA A UN PUNTO DI UNA LINEA RETTA
L'equazione di una retta passante per un dato punto (x 1 ,y 1 ) e data pendenza m è:
y - y 1 = m ( x - x 1 )
FORMA A DUE PUNTI DI UNA LINEA RETTA
L'equazione di una retta passante per due punti (x 1 ,y 1 ) e (x 2 ,y 2 ) e data pendenza m è:
\(\mathbf {y - y_1 = \frac {y_1 - y_2}{x_1 - x_2} ( x - x_1) }\)
Esempio : Trovare l'equazione della retta passante per il punto (-1, -2) e avente pendenza pari a 4/5.
Soluzione : L'equazione richiesta è
\(y - (-2) = \frac{4}{5}{{x - (-1)}} \\ y + 2 = \frac{4}{5} (x + 1) \\ 5y + 10 = 4x + 4 \\ -4x + 5y = -6\)
Risposta : -4x + 5y = -6 è l'equazione della retta.
Esempio : determinare la pendenza e l'intercetta di y = 3x + 5.
Soluzione : confrontando con y = mx + c, otteniamo m = 3 e c = 5
Risposta : Pendenza = 3, Intercetta = 5
INTERCETTA FORMA DI UNA LINEA RETTA
L'equazione di una retta che taglia l'intersezione a e b dagli assi è:
