デカルト座標を使用して座標軸上の点と線を表す方法は既に学習しました。このレッスンでは、平面上の 2 点に関する特定の公式を取り上げ、直線の方程式も導出します。
点 P が線分 AB 上にあるとします。
P は、AP:PB の比率で AB を内分します。上の図では、点 P は AB を 2 : 3 の比率で内分します。
ここでは、与えられた 2 点を結ぶ線を与えられた比率で内分する点の座標を求めます。 A (x 1, y 1 ) と B (x 2 , y 2 ) を与えられた 2 つの点とし、P (x, y) を直線 AB 上の点とし、直線を比率 m 1 : m 2に分割すると、 P の座標は
\(x = \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1+m_2}\\ y= \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1+m_2}\\\) |
中点の座標はどうなりますか？
m 1 = 1、m 2 = 1 とすると、中点の座標は次のようになります。
\(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\)
例：点 (4 6) と (-4, 2) を結ぶ直線を 1:3 に内分する点の座標を求めます。
解決策:
\(x = \frac{(1\times-4) + (3 \times4)}{1+3} = \frac{8}{4} = 2\)
\(y = \frac{(1\times2) + (3 \times6)}{1+3} = \frac{20}{4} = 5\)
答え: (2, 5) は点の座標です。
直線の傾き (または勾配) は、x 軸より上の線の部分が x 軸の正の方向となす角度の正接です。
直線の傾きは文字「m」で示されます。
AP は x 軸より上の線の部分で、 \(\angle XAP = \theta\)の次に\(m = \tan\theta\) 。角度は、x 軸の正の方向から反時計回りの方向に、x 軸の上の線の部分まで測定されます。
2点を結ぶ直線の傾き
A (x 1, y 1 ) と B (x 2 , y 2 ) を 2 点とします。 x 軸に対する線 AB の傾きを θ とすると、
直線の傾きと切片の形式
直線l がA で x 軸、B で y 軸と交わる場合、
(i) OA は、x 軸上の線によって作られる切片、または単に x 切片と呼ばれます。
(ii) OB は、y 軸上の線によって作られる切片、または単に y 切片と呼ばれます。
P を直線 l 上の座標 (x, y) の任意の点とする。線 l は X 軸と角度 θ を成し、y 軸上の切片 OB は c です。
タンθ=m
角度のタンジェントは、直線の傾きに等しくなります。
傾きが m で y 切片が c の直線の式は、y = mx + c です。
直線の 1 点形式
与えられた点 (x 1 ,y 1 ) と傾き m を通る直線の式は次のとおりです。
y - y 1 = m ( x − x 1 )
直線の 2 点形式
2 点 (x 1 ,y 1 ) と (x 2 ,y 2 ) を通り、傾き m が与えられた直線の方程式は次のとおりです。
\(\mathbf {y - y_1 = \frac {y_1 - y_2}{x_1 - x_2} ( x - x_1) }\)
例:点 (-1, -2) を通り、傾きが 4/5 に等しい直線の方程式を見つけます。
解決策:必要な式は次のとおりです。
\(y - (-2) = \frac{4}{5}{{x - (-1)}} \\ y + 2 = \frac{4}{5} (x + 1) \\ 5y + 10 = 4x + 4 \\ -4x + 5y = -6\)
答え: -4x + 5y = -6 は直線の式です。
例: y = 3x + 5 の傾きと y 切片を求めます。
解決策: y = mx + c と比較すると、m = 3 と c = 5 が得られます。
答え:勾配 = 3、切片 = 5
直線の切片形式
軸から切片 a と b を切り取る直線の式は次のとおりです。
