Веќе научивме како да претставуваме точка и права на координатна оска користејќи декартови координати. Во оваа лекција, ќе земеме одредени формули за две точки во рамнината и исто така ќе изведеме равенка на права.
Размислете дека точката P лежи на отсечката AB.
P го дели AB внатрешно во однос AP: PB. На горната слика, точката P внатрешно го дели AB во сооднос 2:3.
Овде ќе ги најдеме координатите на точката која внатрешно ја дели правата што спојува две дадени точки во даден однос. Нека A (x 1, y 1 ) и B (x 2 , y 2 ) се двете дадени точки и P (x, y) е точка на правата AB која ја дели правата на сооднос m 1 : m 2 , тогаш координати на P се
\(x = \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1+m_2}\\ y= \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1+m_2}\\\) |
Кои ќе бидат координатите на средната точка?
Ставајќи m 1 = 1, m 2 = 1, координатите на средната точка се:
\(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\)
Пример : Најдете ги координатите на точката што ја дели правата што ги спојува точките (4 6) и (-4, 2) внатрешно во однос 1:3.
Решение :
\(x = \frac{(1\times-4) + (3 \times4)}{1+3} = \frac{8}{4} = 2\)
\(y = \frac{(1\times2) + (3 \times6)}{1+3} = \frac{20}{4} = 5\)
Одговор : (2, 5) се координатите на точката.
Наклонот (или градиентот) на права линија е тангента на аголот што делот од правата над оската x го прави со позитивната насока на оската x.
Наклонот на линијата е означен со буквата 'm'.
AP е дел од правата над оската x и \(\angle XAP = \theta\) потоа \(m = \tan\theta\) . Аголот се мери од позитивната насока на оската x во насока спротивно од стрелките на часовникот до делот од линијата над оската x.
Наклон на линија што спојува две точки
Нека A (x 1, y 1 ) и B (x 2 , y 2 ) се две точки. Нека θ е наклонот на правата AB со оската x тогаш
КОРИСНИК-ПРЕСЕКНУВАЊЕ ФОРМА НА ЛИНИЈА
Ако права линија l ја исполнува оската x на A и y-оската на B тогаш
(i) OA се нарекува пресек направен од линијата на оската x или едноставно x-пресек.
(ii) OB се нарекува пресек направен од правата на y-оската или едноставно y-пресек.
Нека P е која било точка на правата l со координати (x, y). Правата l прави агол θ со X-оската и чие пресек OB на y-оската е c.
Тан θ = m
Тангентата на аголот е еднаква на наклонот на правата.
Равенката на права линија со наклон m и y-пресек c е y = mx + c.
ФОРМА ОД ЕДНА ТОЧКА НА ПРАВА ЛИНИЈА
Равенката на права линија што минува низ дадена точка (x 1 ,y 1 ) и даден наклон m е:
y - y 1 = m ( x − x 1 )
ФОРМА НА ДВЕТЕНКИ НА ПРАВА ЛИНИЈА
Равенката на права линија што минува низ две точки (x 1 ,y 1 ) и (x 2 ,y 2 ) и дадена наклон m е:
\(\mathbf {y - y_1 = \frac {y_1 - y_2}{x_1 - x_2} ( x - x_1) }\)
Пример : Најдете ја равенката на правата линија низ точката (-1, -2) со наклон еднаков на 4/5.
Решение : Потребната равенка е
\(y - (-2) = \frac{4}{5}{{x - (-1)}} \\ y + 2 = \frac{4}{5} (x + 1) \\ 5y + 10 = 4x + 4 \\ -4x + 5y = -6\)
Одговор : -4x + 5y = -6 е равенката на правата линија.
Пример : Определете го наклонот и y-пресекот на y = 3x + 5.
Решение : споредувајќи со y = mx + c, добиваме m = 3 и c = 5
Одговор : Наклон = 3, Пресек = 5
ПРЕСРЕКНУВАЊЕ ФОРМА НА ПРАВА ЛИНИЈА
Равенката на права линија што го отсекува пресекот a и b од оските е:
