Back to the topics list

एक सीधा रेखा को अवरोध फार्म, एक सीधा रेखा को ढलान, सेक्सन सूत्र

हामीले पहिले नै कार्टेसियन निर्देशांकहरू प्रयोग गरेर समन्वय अक्षमा बिन्दु र रेखालाई कसरी प्रतिनिधित्व गर्ने भनेर सिकेका छौं। यस पाठमा, हामी समतलमा दुईवटा बिन्दुहरू सम्बन्धी केही सूत्रहरू लिनेछौं र रेखाको समीकरण पनि निकाल्नेछौं।

बिन्दु P लाई रेखा खण्ड AB मा रहेको विचार गर्नुहोस्।

P ले AB लाई आन्तरिक रूपमा AP: PB अनुपातमा विभाजन गर्छ। माथिको चित्रमा, बिन्दु P ले AB लाई आन्तरिक रूपमा 2 : 3 अनुपातमा विभाजन गर्दछ।

विभाजन वा खण्ड सूत्र

यहाँ हामी बिन्दुको निर्देशांकहरू फेला पार्न जाँदैछौं जसले आन्तरिक रूपमा दुईवटा बिन्दुहरूलाई दिइएको अनुपातमा जोड्ने रेखालाई विभाजित गर्दछ। A (x _1, y ₁ ) र B (x ₂ , y ₂ ) लाई दुई दिइएको बिन्दु मान्नुहोस् र P (x, y) रेखा AB मा रहेको एउटा बिन्दु हो जसले रेखालाई m ₁ : m ₂ अनुपातमा विभाजन गर्छ, त्यसपछि P को निर्देशांक हो

मध्य बिन्दुको समन्वयहरू के हुनेछ?

m ₁ = 1, m ₂ = 1 राख्दै, मध्य-बिन्दुको निर्देशांकहरू हुन्:

\(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\)

उदाहरण : बिन्दु (4 6) र (-4, 2) लाई 1:3 को अनुपातमा भित्री रूपमा जोड्ने रेखालाई विभाजन गर्ने बिन्दुको निर्देशांकहरू फेला पार्नुहोस्।

समाधान :

\(x = \frac{(1\times-4) + (3 \times4)}{1+3} = \frac{8}{4} = 2\)

\(y = \frac{(1\times2) + (3 \times6)}{1+3} = \frac{20}{4} = 5\)

उत्तर : (2, 5) बिन्दुका समन्वयहरू हुन्।

सीधा रेखाको ढलान वा ढाँचा

सीधा रेखाको ढलान (वा ढाँचा) कोणको स्पर्शरेखा हो जुन x-अक्षको माथिको रेखाको भागले x-अक्षको सकारात्मक दिशासँग बनाउँछ।

रेखाको ढलान अक्षर 'm' द्वारा संकेत गरिएको छ।

AP x-अक्षको माथिको रेखाको भाग हो र \(\angle XAP = \theta\) त्यसपछि \(m = \tan\theta\) । कोणलाई x-अक्षको सकारात्मक दिशाबाट x-अक्षको माथिको रेखाको भागमा anticlockwise दिशामा नापिन्छ।

• रेखाको ढलान सकारात्मक हुन्छ यदि यसले x-अक्षसँग घडीको विपरीत दिशामा तीव्र कोण बनाउँछ। उदाहरण θ = 45° त्यसपछि m = tan 45 = 1
• रेखाको ढलान ऋणात्मक हुन्छ यदि रेखाले x-अक्षको साथमा घडीको विपरीत दिशामा अस्पष्ट कोण बनाउँछ। उदाहरण, θ = 135° त्यसपछि m = tan 135 = -1
• रेखा खण्ड x-अक्षको समानान्तर भएमा रेखाको ढलान शून्य हुन्छ।
• y-अक्षको समानान्तर रेखाको ढलान परिभाषित गरिएको छैन।

दुई बिन्दुहरू जोड्ने रेखाको ढलान

A (x _1, y ₁ ) र B ( x ₂ , y ₂ ) लाई दुई बिन्दु मानौं। θ लाई x-अक्षको साथ रेखा AB को झुकाव मान्नुहोस्

\(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2-x_1}\)

• समानान्तर रेखाहरूको ढलान बराबर छन्। त्यसैले यदि m ₁ र m ₂ दुई समानान्तर रेखाहरूको ढलान हो भने m ₁ = m ₂ ।

• लम्ब रेखाहरूको ढलानहरू एकअर्काको ऋणात्मक पारस्परिक हुन्छन्। त्यसैले यदि m ₁ र m ₂ दुई लम्ब रेखाहरूको ढलान हो भने m ₁ ⋅ m ₂ = -1।

रेखाको ढलान-अवरोध रूप

यदि सीधा रेखा l ले X-अक्षलाई A मा र y-अक्षलाई B मा मिल्छ भने

(i) OA लाई x-axis मा रेखा द्वारा बनाईएको अवरोध वा केवल x-intercept भनिन्छ।

(ii) OB लाई y-अक्षमा रेखाद्वारा बनाइएको इन्टरसेप्ट वा केवल y-अवरोध भनिन्छ।

निर्देशांक (x, y) भएको रेखा l मा P लाई कुनै पनि बिन्दु होस्। रेखा l ले X-अक्षको साथ कोण θ बनाउँछ र जसको y-अक्षमा अवरोधित OB c हो।

Tan θ = m

कोणको स्पर्शरेखा रेखाको ढलान बराबर हुन्छ।

ढलान m र y-अवरोध c भएको सीधा रेखाको समीकरण y = mx + c हो।

सीधा रेखाको एक-बिन्दु फारम

दिइएको बिन्दु (x ₁ ,y ₁ ) र दिइएको स्लोप m बाट गुज्रिरहेको सीधा रेखाको समीकरण हो:

y - y ₁ = m ( x − x ₁ )

सीधा रेखाको दुई-बिन्दु फारम

दुई-बिन्दु (x ₁ ,y ₁ ) र (x ₂ ,y ₂ ) र दिइएको स्लोप m बाट गुज्रिरहेको सीधा रेखाको समीकरण हो:

\(\mathbf {y - y_1 = \frac {y_1 - y_2}{x_1 - x_2} ( x - x_1) }\)

उदाहरण : बिन्दु (-१, -२) र ४/५ बराबर ढलान भएको सिधा रेखाको समीकरण पत्ता लगाउनुहोस्।

समाधान : आवश्यक समीकरण हो

\(y - (-2) = \frac{4}{5}{{x - (-1)}} \\ y + 2 = \frac{4}{5} (x + 1) \\ 5y + 10 = 4x + 4 \\ -4x + 5y = -6\)

उत्तर : -4x + 5y = -6 सीधा रेखाको समीकरण हो।

उदाहरण : y = 3x + 5 को ढलान र y-अवरोधन निर्धारण गर्नुहोस्।
समाधान : y = mx + c सँग तुलना गर्दा, हामीले m = 3 र c = 5 पाउँछौं
उत्तर : ढलान = 3, अवरोध = 5

एक सीधा रेखा को अवरोध फारम

सिधा रेखाको समीकरण जसले अक्षबाट अवरोध a र b लाई काट्छ:

\(\mathbf { \frac{x}{a} + \frac{y}{b} } = 1\)