We hebben al geleerd hoe we een punt en een lijn op een coördinatenas kunnen weergeven met behulp van cartesische coördinaten. In deze les zullen we bepaalde formules over twee punten in het vlak opnemen en ook een vergelijking van een lijn afleiden.
Beschouw punt P op lijnstuk AB.
P deelt AB intern in verhouding AP: PB. In de bovenstaande figuur verdeelt punt P AB intern in verhouding 2 : 3.
Hier gaan we de coördinaten vinden van het punt dat intern de lijn verdeelt die twee gegeven punten in een bepaalde verhouding verbindt. Zij A (x 1, y 1 ) en B (x 2 , y 2 ) de twee gegeven punten en P (x, y) is een punt op lijn AB dat de lijn verdeelt in de verhouding m 1 : m 2 , dan is de coördinaten van P are
\(x = \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1+m_2}\\ y= \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1+m_2}\\\) |
Wat zijn de coördinaten van het middelpunt?
Als we m 1 = 1, m 2 = 1 zetten, zijn de coördinaten van het middelpunt:
\(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\)
Voorbeeld : Vind de coördinaten van het punt dat de lijn verdeelt die de punten (4 6) en (-4, 2) intern in de verhouding 1:3 verbindt.
Oplossing :
\(x = \frac{(1\times-4) + (3 \times4)}{1+3} = \frac{8}{4} = 2\)
\(y = \frac{(1\times2) + (3 \times6)}{1+3} = \frac{20}{4} = 5\)
Antwoord : (2, 5) zijn de coördinaten van het punt.
De helling (of helling) van een rechte lijn is de raaklijn van de hoek die het deel van de lijn boven de x-as maakt met de positieve richting van de x-as.
De helling van een lijn wordt aangegeven met de letter 'm'.
AP is het gedeelte van de lijn boven de x-as en \(\angle XAP = \theta\) dan \(m = \tan\theta\) . De hoek wordt gemeten vanaf de positieve richting van de x-as tegen de klok in naar het deel van de lijn boven de x-as.
Helling van een lijn die twee punten verbindt
Laat A (x 1, y 1 ) en B (x 2 , y 2 ) twee punten zijn. Zij θ de helling van lijn AB met de x-as dan
HELLING-INTERCEPT VORM VAN EEN LIJN
Als een rechte l de x-as bij A en de y-as bij B ontmoet, dan
(i) OA wordt het snijpunt genoemd dat wordt gemaakt door de lijn op de x-as of eenvoudigweg x-snijpunt.
(ii) OB wordt het snijpunt genoemd dat wordt gemaakt door de lijn op de y-as of eenvoudigweg y-snijpunt.
Zij P een willekeurig punt op een lijn l met coördinaten (x, y). Lijn l maakt een hoek θ met de X-as en waarvan het snijpunt OB op de y-as c is.
Tan θ = m
De tangens van de hoek is gelijk aan de helling van de lijn.
De vergelijking van een rechte lijn met helling m en y-snijpunt c is y = mx + c.
EENPUNTVORM VAN EEN RECHTE LIJN
De vergelijking van een rechte lijn die door een gegeven punt (x 1 ,y 1 ) en gegeven helling m gaat is:
y - y 1 = m ( x − x 1 )
TWEE-PUNTEN VORM VAN EEN RECHTE LIJN
De vergelijking van een rechte lijn door tweepunts (x 1 ,y 1 ) en (x 2 ,y 2 ) en gegeven helling m is:
\(\mathbf {y - y_1 = \frac {y_1 - y_2}{x_1 - x_2} ( x - x_1) }\)
Voorbeeld : Vind de vergelijking van de rechte lijn door het punt (-1, -2) en met een helling gelijk aan 4/5.
Oplossing : De vereiste vergelijking is
\(y - (-2) = \frac{4}{5}{{x - (-1)}} \\ y + 2 = \frac{4}{5} (x + 1) \\ 5y + 10 = 4x + 4 \\ -4x + 5y = -6\)
Antwoord : -4x + 5y = -6 is de vergelijking van de rechte lijn.
Voorbeeld : Bepaal de helling en het y-snijpunt van y = 3x + 5.
Oplossing : vergelijken met y = mx + c, we krijgen m = 3 en c = 5
Antwoord : Helling = 3, Intercept = 5
VORM VAN EEN RECHTE LIJN ONDERSCHEPPEN
De vergelijking van een rechte lijn die snijpunt a en b afsnijdt van de assen is:
