Nauczyliśmy się już przedstawiać punkt i linię na osi współrzędnych za pomocą współrzędnych kartezjańskich. W tej lekcji zajmiemy się pewnymi wzorami dotyczącymi dwóch punktów na płaszczyźnie, a także wyprowadzimy równanie prostej.
Rozważmy, że punkt P leży na odcinku AB.
P dzieli AB wewnętrznie w stosunku AP: PB. Na powyższym rysunku punkt P dzieli AB wewnętrznie w stosunku 2:3.
Tutaj będziemy szukać współrzędnych punktu, który dzieli wewnętrznie linię łączącą dwa dane punkty w zadanym stosunku. Niech A (x 1, y 1 ) i B (x 2 , y 2 ) będą dwoma danymi punktami, a P (x, y) będzie punktem na prostej AB, która dzieli prostą na stosunek m 1 : m 2 , wtedy współrzędne P to
\(x = \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1+m_2}\\ y= \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1+m_2}\\\) |
Jakie będą współrzędne środka?
Zakładając m 1 = 1, m 2 = 1, współrzędne punktu środkowego to:
\(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\)
Przykład : Znajdź współrzędne punktu, który dzieli prostą łączącą punkty (4 6) i (-4, 2) wewnętrznie w stosunku 1:3.
Rozwiązanie :
\(x = \frac{(1\times-4) + (3 \times4)}{1+3} = \frac{8}{4} = 2\)
\(y = \frac{(1\times2) + (3 \times6)}{1+3} = \frac{20}{4} = 5\)
Odpowiedź : (2, 5) to współrzędne punktu.
Nachylenie (lub nachylenie) linii prostej jest tangensem kąta, jaki część linii powyżej osi x tworzy z dodatnim kierunkiem osi x.
Nachylenie linii jest oznaczone literą „m”.
AP jest częścią linii powyżej osi x i \(\angle XAP = \theta\) wtedy \(m = \tan\theta\) . Kąt jest mierzony od dodatniego kierunku osi x w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara do części linii powyżej osi x.
Nachylenie linii łączącej dwa punkty
Niech A (x 1, y 1 ) i B (x 2 , y 2 ) będą dwoma punktami. Niech θ będzie zatem nachyleniem prostej AB do osi x
KSZTAŁT PRZECIĘTYCH NACHYLENIA LINII
Jeśli prosta l przecina oś x w punkcie A i oś y w punkcie B, to wtedy
(i) OA nazywa się punktem przecięcia z linią na osi x lub po prostu punktem przecięcia z osią x.
(ii) OB nazywa się punktem przecięcia z linią na osi y lub po prostu punktem przecięcia z osią y.
Niech P będzie dowolnym punktem na prostej l o współrzędnych (x, y). Prosta l tworzy kąt θ z osią X i której punkt przecięcia OB na osi y to c.
Tan θ = m
Tangens kąta jest równy nachyleniu prostej.
Równanie prostej o nachyleniu m i punkcie przecięcia z osią y c to y = mx + c.
JEDNOPUNKTOWA FORMA LINII PROSTEJ
Równanie prostej przechodzącej przez dany punkt (x 1 , y 1 ) i dane nachylenie m ma postać:
y - y 1 = m ( x - x 1 )
DWUPUNKTOWA FORMA PROSTEJ
Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty (x 1 ,y 1 ) i (x 2 ,y 2 ) oraz dany współczynnik kierunkowy m to:
\(\mathbf {y - y_1 = \frac {y_1 - y_2}{x_1 - x_2} ( x - x_1) }\)
Przykład : Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt (-1, -2) i mającej nachylenie równe 4/5.
Rozwiązanie : Wymagane równanie to
\(y - (-2) = \frac{4}{5}{{x - (-1)}} \\ y + 2 = \frac{4}{5} (x + 1) \\ 5y + 10 = 4x + 4 \\ -4x + 5y = -6\)
Odpowiedź : -4x + 5y = -6 to równanie prostej.
Przykład : Określ nachylenie i punkt przecięcia z osią y dla y = 3x + 5.
Rozwiązanie : porównując z y = mx + c, otrzymujemy m = 3 i c = 5
Odpowiedź : Nachylenie = 3, Punkt przecięcia = 5
PRZECHWYĆ FORMĘ LINII PROSTEJ
Równanie prostej, która odcina punkt przecięcia a i b od osi, jest następujące:
