Já aprendemos a representar um ponto e uma linha em um eixo de coordenadas usando coordenadas cartesianas. Nesta lição, vamos pegar certas fórmulas referentes a dois pontos no plano e também derivar uma equação de uma reta.
Considere que o ponto P está no segmento de reta AB.
P divide AB internamente na razão AP:PB. Na figura acima, o ponto P divide AB internamente na razão 2 : 3.
Aqui vamos encontrar as coordenadas do ponto que divide internamente a linha que une dois pontos dados em uma determinada razão. Sejam A (x 1, y 1 ) e B (x 2 , y 2 ) os dois pontos dados e P (x, y) um ponto na linha AB que divide a linha na razão m 1 : m 2 , então o as coordenadas de P são
\(x = \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1+m_2}\\ y= \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1+m_2}\\\) |
Quais serão as coordenadas do ponto médio?
Colocando m 1 = 1, m 2 = 1, as coordenadas do ponto médio são:
\(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\)
Exemplo : Encontre as coordenadas do ponto que divide a linha que une os pontos (4 6) e (-4, 2) internamente na razão 1:3.
Solução :
\(x = \frac{(1\times-4) + (3 \times4)}{1+3} = \frac{8}{4} = 2\)
\(y = \frac{(1\times2) + (3 \times6)}{1+3} = \frac{20}{4} = 5\)
Resposta : (2, 5) são as coordenadas do ponto.
A inclinação (ou gradiente) de uma linha reta é a tangente do ângulo que a parte da linha acima do eixo x faz com a direção positiva do eixo x.
A inclinação de uma linha é indicada pela letra 'm'.
AP é a parte da linha acima do eixo x e \(\angle XAP = \theta\) então \(m = \tan\theta\) . O ângulo é medido a partir da direção positiva do eixo x no sentido anti-horário até a parte da linha acima do eixo x.
Inclinação de uma linha que une dois pontos
Sejam A (x 1, y 1 ) e B (x 2 , y 2 ) dois pontos. Seja θ a inclinação da linha AB com o eixo x, então
FORMA DE INTERCEPÇÃO DE INCLINAÇÃO DE UMA LINHA
Se uma linha reta l encontra o eixo x em A e o eixo y em B, então
(i) OA é chamado de interceptação feita pela linha no eixo x ou simplesmente x-intercept.
(ii) OB é chamado de interceptação feita pela linha no eixo y ou simplesmente y-intercept.
Seja P qualquer ponto de uma reta l com coordenadas (x, y). A linha l faz um ângulo θ com o eixo X e cuja interceptação OB no eixo y é c.
Tan θ = m
A tangente do ângulo é igual à inclinação da linha.
A equação de uma linha reta com inclinação m e interceptação y c é y = mx + c.
FORMA DE UM PONTO DE UMA LINHA RETA
A equação de uma linha reta que passa por um dado ponto (x 1 ,y 1 ) e dada inclinação m é:
y - y 1 = m ( x − x 1 )
FORMA DE DOIS PONTOS DE UMA LINHA RETA
A equação de uma linha reta que passa por dois pontos (x 1 ,y 1 ) e (x 2 ,y 2 ) e dada inclinação m é:
\(\mathbf {y - y_1 = \frac {y_1 - y_2}{x_1 - x_2} ( x - x_1) }\)
Exemplo : Encontre a equação da reta que passa pelo ponto (-1, -2) e tem inclinação igual a 4/5.
Solução : A equação necessária é
\(y - (-2) = \frac{4}{5}{{x - (-1)}} \\ y + 2 = \frac{4}{5} (x + 1) \\ 5y + 10 = 4x + 4 \\ -4x + 5y = -6\)
Resposta : -4x + 5y = -6 é a equação da reta.
Exemplo : Determine a inclinação e a interseção com y de y = 3x + 5.
Solução : comparando com y = mx + c, obtemos m = 3 ec = 5
Resposta : Inclinação = 3, Interceptação = 5
FORMA DE INTERCEPÇÃO DE UMA LINHA RETA
A equação de uma linha reta que corta a interceptação a e b dos eixos é:
