Мы уже научились представлять точку и линию на оси координат, используя декартовы координаты. В этом уроке мы рассмотрим некоторые формулы для двух точек на плоскости, а также выведем уравнение прямой.
Пусть точка P лежит на отрезке AB.
P делит AB внутренне в соотношении AP:PB. На приведенном выше рисунке точка P делит AB внутри в отношении 2 : 3.
Здесь мы собираемся найти координаты точки, которая делит внутреннюю линию, соединяющую две заданные точки в заданном отношении. Пусть A (x 1, y 1 ) и B (x 2 , y 2 ) — две заданные точки, а P (x, y) — точка на прямой AB, которая делит прямую в отношении m 1 : m 2 , тогда координаты P
\(x = \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1+m_2}\\ y= \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1+m_2}\\\) |
Какими будут координаты середины?
Полагая m 1 = 1, m 2 = 1, координаты средней точки:
\(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\)
Пример : Найдите координаты точки, которая делит линию, соединяющую точки (4 6) и (-4, 2) внутри в отношении 1:3.
Решение :
\(x = \frac{(1\times-4) + (3 \times4)}{1+3} = \frac{8}{4} = 2\)
\(y = \frac{(1\times2) + (3 \times6)}{1+3} = \frac{20}{4} = 5\)
Ответ : (2, 5) — координаты точки.
Наклон (или градиент) прямой линии представляет собой тангенс угла, который образует часть прямой над осью x с положительным направлением оси x.
Наклон линии обозначается буквой «м».
AP — это часть линии над осью x и \(\angle XAP = \theta\) , затем \(m = \tan\theta\) . Угол измеряется от положительного направления оси x против часовой стрелки до части линии над осью x.
Наклон линии, соединяющей две точки
Пусть A (x 1, y 1 ) и B (x 2 , y 2 ) — две точки. Пусть θ - наклон линии AB с осью x, тогда
НАКЛОН-ПРЕРЫВНАЯ ФОРМА ЛИНИИ
Если прямая l пересекает ось x в точке A и ось y в точке B, то
(i) ОА называется точкой пересечения , сделанной линией на оси абсцисс, или просто точкой пересечения с осью абсцисс.
(ii) OB называется точкой пересечения , сделанной линией на оси y, или просто точкой пересечения с осью y.
Пусть P — любая точка на прямой l с координатами (x, y). Линия l образует угол θ с осью X, и ее точка пересечения OB на оси y равна c.
Тан θ = м
Тангенс угла равен наклону прямой.
Уравнение прямой линии с наклоном m и точкой пересечения y c имеет вид y = mx + c.
ОДНОТОЧЕЧНАЯ ФОРМА ПРЯМОЙ
Уравнение прямой линии, проходящей через данную точку (x 1 , y 1 ) и заданный наклон m:
у - у 1 знак равно м ( Икс - Икс 1 )
ДВУХТОЧЕЧНАЯ ФОРМА ПРЯМОЙ
Уравнение прямой линии, проходящей через две точки (x 1 ,y 1 ) и (x 2 ,y 2 ) и заданный наклон m:
\(\mathbf {y - y_1 = \frac {y_1 - y_2}{x_1 - x_2} ( x - x_1) }\)
Пример : Найдите уравнение прямой линии, проходящей через точку (-1, -2) и имеющей наклон, равный 4/5.
Решение : искомое уравнение
\(y - (-2) = \frac{4}{5}{{x - (-1)}} \\ y + 2 = \frac{4}{5} (x + 1) \\ 5y + 10 = 4x + 4 \\ -4x + 5y = -6\)
Ответ : -4x + 5y = -6 это уравнение прямой линии.
Пример : Определить наклон и точку пересечения по оси y для y = 3x + 5.
Решение : сравнивая с y = mx + c, получаем m = 3 и c = 5
Ответ : Наклон = 3, точка пересечения = 5.
ФОРМА ПЕРЕХВАТА ПРЯМОЙ
Уравнение прямой линии, отсекающей точки пересечения a и b от осей, имеет вид:
