Ne kemi mësuar tashmë se si të përfaqësojmë një pikë dhe një vijë në një bosht koordinativ duke përdorur koordinatat karteziane. Në këtë mësim, ne do të marrim disa formula në lidhje me dy pika në rrafsh dhe gjithashtu do të nxjerrim një ekuacion të një drejtëze.
Konsideroni se pika P shtrihet në segmentin e linjës AB.
P ndan AB brenda në raportin AP: PB. Në figurën e mësipërme, pika P ndan AB brenda në raport 2:3.
Këtu do të gjejmë koordinatat e pikës që ndan brenda vijës që bashkon dy pika të dhëna në një raport të caktuar. Le të jenë A (x 1, y 1 ) dhe B (x 2 , y 2 ) dy pikat e dhëna dhe P (x, y) është një pikë në drejtëzën AB e cila e ndan drejtëzën në raportin m 1 : m 2 , pastaj koordinatat e P janë
\(x = \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1+m_2}\\ y= \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1+m_2}\\\) |
Cilat do të jenë koordinatat e pikës së mesit?
Duke vendosur m 1 = 1, m 2 = 1, koordinatat e pikës së mesit janë:
\(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\)
Shembull : Gjeni koordinatat e pikës që ndan drejtëzën që bashkon pikat (4 6) dhe (-4, 2) brenda në raport 1:3.
Zgjidhja :
\(x = \frac{(1\times-4) + (3 \times4)}{1+3} = \frac{8}{4} = 2\)
\(y = \frac{(1\times2) + (3 \times6)}{1+3} = \frac{20}{4} = 5\)
Përgjigje : (2, 5) janë koordinatat e pikës.
Pjerrësia (ose gradienti) i një drejtëze është tangjentja e këndit që bën pjesa e drejtëzës mbi boshtin x me drejtimin pozitiv të boshtit x.
Pjerrësia e një rreshti tregohet me shkronjën 'm'.
AP është pjesa e vijës mbi boshtin x dhe \(\angle XAP = \theta\) pastaj \(m = \tan\theta\) . Këndi matet nga drejtimi pozitiv i boshtit x në drejtim të kundërt të akrepave të orës në pjesën e vijës mbi boshtin x.
Pjerrësia e një vije që bashkon dy pika
Le të jenë A (x 1, y 1 ) dhe B (x 2 , y 2 ) dy pika. Le të jetë θ pjerrësia e drejtëzës AB me boshtin x atëherë
FORMA PJERRË-PËRGJIM I LINJËS
Nëse një drejtëz l takon boshtin x në A dhe boshtin y në B atëherë
(i) OA quhet ndërprerja e bërë nga vija në boshtin x ose thjesht ndërprerja x.
(ii) OB quhet ndërprerja e bërë nga vija në boshtin y ose thjesht ndërprerja y.
Le të jetë P çdo pikë në drejtëzën l me koordinata (x, y). Drejtëza l bën një kënd θ me boshtin X dhe prerja OB e së cilës në boshtin y është c.
Tan θ = m
Tangjentja e këndit është e barabartë me pjerrësinë e drejtëzës.
Ekuacioni i një drejtëze me pjerrësi m dhe y-prerje c është y = mx + c.
FORMA ME NJË PIKË E NJË VIJË TË DREJTË
Ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër një pikë të caktuar (x 1 ,y 1 ) dhe pjerrësia e dhënë m është:
y - y 1 = m ( x − x 1 )
FORMA ME DY PIKA TË NJË VIJË TË DREJTË
Ekuacioni i një drejtëze që kalon nëpër dy pika (x 1 ,y 1 ) dhe (x 2 ,y 2 ) dhe pjerrësia e dhënë m është:
\(\mathbf {y - y_1 = \frac {y_1 - y_2}{x_1 - x_2} ( x - x_1) }\)
Shembull : Gjeni ekuacionin e drejtëzës nëpër pikën (-1, -2) dhe me pjerrësi të barabartë me 4/5.
Zgjidhja : Ekuacioni i kërkuar është
\(y - (-2) = \frac{4}{5}{{x - (-1)}} \\ y + 2 = \frac{4}{5} (x + 1) \\ 5y + 10 = 4x + 4 \\ -4x + 5y = -6\)
Përgjigje : -4x + 5y = -6 është ekuacioni i drejtëzës.
Shembull : Përcaktoni pjerrësinë dhe y-prerjen e y = 3x + 5.
Zgjidhje : duke krahasuar me y = mx + c, marrim m = 3 dhe c = 5
Përgjigje : Pjerrësia = 3, Prerja = 5
FORMULA E PRERJES E NJË VIJË TË DREJTË
Ekuacioni i një vije të drejtë që shkëput prerjen a dhe b nga boshtet është:
