Vi har redan lärt oss hur man representerar en punkt och en linje på en koordinataxel med hjälp av kartesiska koordinater. I den här lektionen kommer vi att ta upp vissa formler som rör två punkter i planet och även härleda en linjeekvation.
Betrakta punkt P ligger på linjesegment AB.
P delar AB internt i förhållandet AP: PB. I figuren ovan delar punkt P AB internt i förhållandet 2 : 3.
Här ska vi hitta koordinaterna för punkten som delar linjen internt som förenar två givna punkter i ett givet förhållande. Låt A (x 1, y 1 ) och B (x 2 , y 2 ) vara de två givna punkterna och P (x, y) är en punkt på linjen AB som delar in linjen i förhållandet m 1 : m 2 , sedan koordinaterna för P är
\(x = \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1+m_2}\\ y= \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1+m_2}\\\) |
Vilka blir koordinaterna för mittpunkten?
Om man sätter m 1 = 1, m 2 = 1, är koordinaterna för mittpunkten:
\(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\)
Exempel : Hitta koordinaterna för punkten som delar linjen som förenar punkterna (4 6) och (-4, 2) internt i förhållandet 1:3.
Lösning :
\(x = \frac{(1\times-4) + (3 \times4)}{1+3} = \frac{8}{4} = 2\)
\(y = \frac{(1\times2) + (3 \times6)}{1+3} = \frac{20}{4} = 5\)
Svar : (2, 5) är punktens koordinater.
Lutningen (eller gradienten) för en rät linje är tangenten till vinkeln som delen av linjen ovanför x-axeln gör med x-axelns positiva riktning.
Lutningen på en linje indikeras med bokstaven 'm'.
AP är delen av linjen ovanför x-axeln och \(\angle XAP = \theta\) sedan \(m = \tan\theta\) . Vinkeln mäts från x-axelns positiva riktning moturs till den del av linjen ovanför x-axeln.
Lutningen på en linje som förenar två punkter
Låt A (x 1, y 1 ) och B (x 2 , y 2 ) vara två punkter. Låt θ vara lutningen av linjen AB med x-axeln då
SLUTNINGSINTERCEPT FORM AV EN LINJE
Om en rät linje l möter x-axeln vid A och y-axeln vid B då
(i) OA kallas skärningen som skapas av linjen på x-axeln eller helt enkelt x-skärningen.
(ii) OB kallas skärningen som görs av linjen på y-axeln eller helt enkelt y-skärningen.
Låt P vara vilken punkt som helst på en linje l med koordinater (x, y). Linjen l gör en vinkel θ med X-axeln och vars skärning OB på y-axeln är c.
Tan θ = m
Vinkelns tangent är lika med linjens lutning .
Ekvationen för en rät linje med lutning m och y-avskärning c är y = mx + c.
ENPUNKTS FORM AV EN RAK LINJE
Ekvationen för en rät linje som går genom en given punkt (x 1 ,y 1 ) och given lutning m är:
y - y 1 = m ( x − x 1 )
TVÅPUNKTS FORM AV EN RAK LINJE
Ekvationen för en rät linje som går genom tvåpunkts (x 1 ,y 1 ) och (x 2 ,y 2 ) och given lutning m är:
\(\mathbf {y - y_1 = \frac {y_1 - y_2}{x_1 - x_2} ( x - x_1) }\)
Exempel : Hitta ekvationen för den räta linjen genom punkten (-1, -2) och ha en lutning lika med 4/5.
Lösning : Den nödvändiga ekvationen är
\(y - (-2) = \frac{4}{5}{{x - (-1)}} \\ y + 2 = \frac{4}{5} (x + 1) \\ 5y + 10 = 4x + 4 \\ -4x + 5y = -6\)
Svar : -4x + 5y = -6 är ekvationen för den räta linjen.
Exempel : Bestäm lutningen och y-skärningen för y = 3x + 5.
Lösning : vid jämförelse med y = mx + c får vi m = 3 och c = 5
Svar : lutning = 3, skärning = 5
FLYTTA FORM AV EN RAK LINJE
Ekvationen för en rät linje som skär av skärningspunkten a och b från axlarna är:
