Back to the topics list

fomula ya sehemu, kukatiza fomu ya laini moja kwa moja, mteremko wa mstari ulionyooka

Tayari tumejifunza jinsi ya kuwakilisha nukta na mstari kwenye mhimili wa kuratibu kwa kutumia kuratibu za cartesian. Katika somo hili, tutachukua fomula fulani kuhusu pointi mbili kwenye ndege na pia kupata mlingano wa mstari.

Zingatia nukta P iko kwenye sehemu ya mstari AB.

P inagawanya AB ndani kwa uwiano AP: PB. Katika takwimu iliyo hapo juu, Point P inagawanya AB ndani kwa uwiano wa 2 : 3.

Mgawanyiko au Mfumo wa Sehemu

Hapa tutapata kuratibu za nukta ambayo inagawanya ndani ya mstari unaounganisha pointi mbili zilizotolewa kwa uwiano fulani. Acha A (x _1, y ₁ ) na B (x ₂ , y ₂ ) ziwe alama mbili zilizopewa na P (x, y) ni nukta kwenye mstari AB ambayo inagawanya mstari katika uwiano m ₁ : m ₂ , kisha kuratibu za P ni

Je, viwianishi vya sehemu ya kati vitakuwa vipi?

Kuweka m ₁ = 1, m ₂ = 1, kuratibu za katikati ni:

\(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\)

Mfano : Tafuta viwianishi vya sehemu inayogawanya mstari unaounganisha pointi (4 6) na (-4, 2) ndani kwa uwiano wa 1:3.

Suluhisho :

\(x = \frac{(1\times-4) + (3 \times4)}{1+3} = \frac{8}{4} = 2\)

\(y = \frac{(1\times2) + (3 \times6)}{1+3} = \frac{20}{4} = 5\)

Jibu : (2, 5) ni kuratibu za uhakika.

Mteremko au Gradient ya mstari wa moja kwa moja

Mteremko (au gradient) wa mstari wa moja kwa moja ni tangent ya angle ambayo sehemu ya mstari juu ya mhimili wa x hufanya na mwelekeo mzuri wa mhimili wa x.

Mteremko wa mstari unaonyeshwa na herufi 'm'.

AP ni sehemu ya mstari juu ya mhimili wa x na \(\angle XAP = \theta\) kisha \(m = \tan\theta\) . Pembe hupimwa kutoka kwa mwelekeo chanya wa mhimili wa x kwa mwelekeo kinyume na saa hadi sehemu ya mstari juu ya mhimili wa x.

• Mteremko wa mstari ni chanya ikiwa hufanya pembe ya papo hapo katika mwelekeo wa kupinga saa na mhimili wa x. Mfano θ = 45° kisha m = tan 45 = 1
• Mteremko wa mstari ni hasi ikiwa mstari hufanya pembe ya butu katika mwelekeo wa kupinga-saa na mhimili wa x. Mfano, θ = 135° kisha m = tan 135 = -1
• Mteremko wa mstari ni sifuri ikiwa sehemu ya mstari ni sambamba na mhimili wa x.
• Mteremko wa mstari sambamba na mhimili wa y haujafafanuliwa.

Mteremko wa mstari unaounganisha pointi mbili

Acha A (x _1, y ₁ ) na B (x ₂ , y ₂ ) ziwe pointi mbili. Acha θ iwe mwelekeo wa mstari AB na mhimili wa x basi

\(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2-x_1}\)

• Miteremko ya mistari inayofanana ni sawa. Kwa hivyo ikiwa m ₁ na m ₂ ni miteremko ya mistari miwili inayofanana basi m ₁ = m ₂ .

• Miteremko ya mistari ya perpendicular ni ya usawa hasi ya kila mmoja. Kwa hivyo ikiwa m ₁ na m ₂ ni miteremko ya mistari miwili ya pembeni basi m ₁ ⋅ m ₂ = -1.

FOMU YA MISTARIKO-KATIKA YA MSTARI

Ikiwa mstari wa moja kwa moja l hukutana na mhimili wa x kwa A na mhimili wa y kwa B basi

(i) OA inaitwa ukatizaji unaofanywa na mstari kwenye mhimili wa x au kwa urahisi x-ukata.

(ii) OB inaitwa ukatizaji unaofanywa na mstari kwenye mhimili wa y au y-ukata kwa urahisi.

Acha P iwe nukta yoyote kwenye mstari l na viwianishi (x, y). Mstari wa l hutengeneza pembe θ yenye mhimili wa X na ambao ukatizaji wa OB kwenye mhimili wa y ni c.

Tan θ = m

Tangent ya pembe ni sawa na mteremko wa mstari.

Mlinganyo wa mstari wa moja kwa moja na mteremko m na y-katiza c ni y = mx + c.

NAMNA YA NJIA MOJA YA MSTARI ILIYOMOJA

Mlinganyo wa mstari ulionyooka unaopitia sehemu fulani (x ₁ ,y ₁ ) na kupewa mteremko m ni:

y - y ₁ = m ( x - x ₁ )

NAMNA YA AINA MBILI ZA MSTARI ULIOMOJA

Mlinganyo wa mstari ulionyooka unaopita katika nukta mbili (x ₁ ,y ₁ ) na (x ₂ ,y ₂ ) na kupewa mteremko m ni:

\(\mathbf {y - y_1 = \frac {y_1 - y_2}{x_1 - x_2} ( x - x_1) }\)

Mfano : Tafuta mlinganyo wa mstari ulionyooka kupitia nukta (-1, -2) na kuwa na mteremko sawa na 4/5.

Suluhisho : Mlinganyo unaohitajika ni

\(y - (-2) = \frac{4}{5}{{x - (-1)}} \\ y + 2 = \frac{4}{5} (x + 1) \\ 5y + 10 = 4x + 4 \\ -4x + 5y = -6\)

Jibu : -4x + 5y = -6 ni equation ya mstari wa moja kwa moja.

Mfano : Bainisha mteremko na ukatizaji y wa y = 3x + 5.
Suluhisho : kulinganisha na y = mx + c, tunapata m = 3 na c = 5
Jibu : Mteremko = 3, Kukatiza = 5

KATIZA UMBO LA MSTARI ULIOMOJA

Mlinganyo wa mstari wa moja kwa moja unaokata kati a na b kutoka kwa shoka ni:

\(\mathbf { \frac{x}{a} + \frac{y}{b} } = 1\)