Natutunan na namin kung paano kumatawan sa isang punto at isang linya sa isang coordinate axis gamit ang cartesian coordinates. Sa araling ito, kukuha tayo ng ilang mga formula tungkol sa dalawang punto sa eroplano at kukuha din ng equation ng isang linya.
Isaalang-alang ang point P na nasa linya ng segment AB.
Hinahati ng P ang AB sa loob sa ratio na AP: PB. Sa figure sa itaas, hinahati ng Point P ang AB sa loob sa ratio na 2 : 3.
Dito makikita natin ang mga coordinate ng punto na naghahati sa loob ng linya na nagdurugtong sa dalawang ibinigay na mga punto sa isang ibinigay na ratio. Hayaang ang A (x 1, y 1 ) at B (x 2 , y 2 ) ang dalawang ibinigay na puntos at ang P (x, y) ay isang punto sa linyang AB na naghahati sa linya sa ratio na m 1 : m 2 , pagkatapos ay ang mga coordinate ng P ay
\(x = \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1+m_2}\\ y= \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1+m_2}\\\) |
Ano ang magiging mga coordinate ng mid-point?
Ang paglalagay ng m 1 = 1, m 2 = 1, ang mga coordinate ng mid-point ay:
\(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\)
Halimbawa : Hanapin ang mga coordinate ng punto na naghahati sa linyang nagdurugtong sa mga puntos (4 6) at (-4, 2) sa loob sa ratio na 1:3.
Solusyon :
\(x = \frac{(1\times-4) + (3 \times4)}{1+3} = \frac{8}{4} = 2\)
\(y = \frac{(1\times2) + (3 \times6)}{1+3} = \frac{20}{4} = 5\)
Sagot : Ang (2, 5) ay ang mga coordinate ng punto.
Ang slope (o gradient) ng isang tuwid na linya ay ang tangent ng anggulo na ginagawa ng bahagi ng linya sa itaas ng x-axis na may positibong direksyon ng x-axis.
Ang slope ng isang linya ay ipinahiwatig ng titik 'm'.
Ang AP ay ang bahagi ng linya sa itaas ng x-axis at \(\angle XAP = \theta\) pagkatapos ay \(m = \tan\theta\) . Ang anggulo ay sinusukat mula sa positibong direksyon ng x-axis sa anticlockwise na direksyon hanggang sa bahagi ng linya sa itaas ng x-axis.
Slope ng isang linya na nagdurugtong sa dalawang puntos
Hayaang ang A (x 1, y 1 ) at B (x 2 , y 2 ) ay dalawang puntos. Hayaang ang θ ang inclination ng linya AB na may x-axis noon
SLOPE-INTERCEPT FORM NG ISANG LINE
Kung ang isang tuwid na linya l ay nakakatugon sa x-axis sa A at ang y-axis sa B pagkatapos
(i) Ang OA ay tinatawag na intercept na ginawa ng linya sa x-axis o simpleng x-intercept.
(ii) Ang OB ay tinatawag na intercept na ginawa ng linya sa y-axis o simpleng y-intercept.
Hayaan ang P ay anumang punto sa isang linya l na may mga coordinate (x, y). Ang linya l ay gumagawa ng isang anggulo θ na may X-axis at ang intercept OB sa y-axis ay c.
Tan θ = m
Ang tangent ng anggulo ay katumbas ng slope ng linya.
Ang equation ng isang tuwid na linya na may slope m at y-intercept c ay y = mx + c.
ONE-POINT FORM NG ISANG TUWIRANG LINE
Ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto (x 1 ,y 1 ) at ibinigay na slope m ay:
y - y 1 = m ( x − x 1 )
DALAWANG-PUNTOS NA ANYO NG ISANG TUWIRANG LINE
Ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang-punto (x 1 ,y 1 ) at (x 2 ,y 2 ) at ibinigay na slope m ay:
\(\mathbf {y - y_1 = \frac {y_1 - y_2}{x_1 - x_2} ( x - x_1) }\)
Halimbawa : Hanapin ang equation ng tuwid na linya sa pamamagitan ng punto (-1, -2) at pagkakaroon ng slope na katumbas ng 4/5.
Solusyon : Ang kinakailangang equation ay
\(y - (-2) = \frac{4}{5}{{x - (-1)}} \\ y + 2 = \frac{4}{5} (x + 1) \\ 5y + 10 = 4x + 4 \\ -4x + 5y = -6\)
Sagot : -4x + 5y = -6 ang equation ng tuwid na linya.
Halimbawa : Tukuyin ang slope at y-intercept ng y = 3x + 5.
Solusyon : paghahambing sa y = mx + c, nakukuha namin ang m = 3 at c = 5
Sagot : Slope = 3, Intercept = 5
INTERCEPT FORM NG ISANG TUWIRANG LINE
Ang equation ng isang tuwid na linya na pumutol sa intercept a at b mula sa mga axes ay:
