Kartezyen koordinatları kullanarak bir koordinat ekseni üzerinde bir noktayı ve bir doğruyu nasıl temsil edeceğimizi zaten öğrenmiştik. Bu derste, düzlemde iki nokta ile ilgili belirli formülleri ele alacağız ve ayrıca bir doğru denklemi türeteceğiz.
P noktasının AB doğru parçası üzerinde olduğunu düşünün.
P, AB'yi dahili olarak AP: PB oranında böler. Yukarıdaki şekilde, P Noktası AB'yi dahili olarak 2 : 3 oranında böler.
Burada, verilen iki noktayı belirli bir oranda birleştiren doğruyu dahili olarak bölen noktanın koordinatlarını bulacağız. A (x 1, y 1 ) ve B (x 2 , y 2 ) verilen iki nokta olsun ve P (x, y) AB doğrusu üzerinde doğruyu m 1 : m 2 oranına bölen bir nokta olsun, sonra P'nin koordinatları
\(x = \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1+m_2}\\ y= \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1+m_2}\\\) |
Orta noktanın koordinatları ne olacak?
m 1 = 1, m 2 = 1 koyarak, orta noktanın koordinatları:
\(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\)
Örnek : (4 6) ve (-4, 2) noktalarını birleştiren doğruyu 1:3 oranında içten bölen noktanın koordinatlarını bulunuz.
Çözüm :
\(x = \frac{(1\times-4) + (3 \times4)}{1+3} = \frac{8}{4} = 2\)
\(y = \frac{(1\times2) + (3 \times6)}{1+3} = \frac{20}{4} = 5\)
Cevap : (2, 5) noktanın koordinatlarıdır.
Düz bir çizginin eğimi (veya gradyanı), çizginin x ekseninin üzerindeki kısmının x ekseninin pozitif yönü ile yaptığı açının teğetidir.
Bir doğrunun eğimi 'm' harfi ile gösterilir.
AP, çizginin x ekseninin üzerindeki kısmıdır ve \(\angle XAP = \theta\) sonra \(m = \tan\theta\) . Açı, x ekseninin pozitif yönünden saat yönünün tersine yönde, çizginin x ekseninin üzerindeki kısmına kadar ölçülür.
İki noktayı birleştiren doğrunun eğimi
A (x 1, y 1 ) ve B (x 2 , y 2 ) iki nokta olsun. θ AB çizgisinin x ekseni ile eğimi olsun, o zaman
BİR DOĞRUNUN EĞİM-KESME ŞEKLİ
Düz bir çizgi l , x eksenini A'da ve y eksenini B'de karşılıyorsa, o zaman
(i) OA, çizginin x ekseni üzerinde yaptığı kesişme veya kısaca x kesişme noktası olarak adlandırılır.
(ii) OB, çizginin y ekseni üzerindeki kesişimi veya basitçe y kesişimi olarak adlandırılır.
P, koordinatları (x, y) olan bir l doğrusu üzerindeki herhangi bir nokta olsun. Doğru l, X ekseni ile θ açısı yapar ve y ekseni üzerindeki OB kesişimi c'dir.
Tan θ = m
Açının tanjantı doğrunun eğimine eşittir .
Eğimi m ve y-kesen noktası c olan bir doğrunun denklemi y = mx + c'dir.
DOĞRU BİR DOĞRUNUN TEK NOKTALI ŞEKLİ
Belirli bir noktadan (x 1 ,y 1 ) ve belirli bir m eğiminden geçen düz bir çizginin denklemi:
y - y 1 = m ( x - x 1 )
DOĞRU BİR DOĞRU İKİ NOKTALI ŞEKİLDE
(x 1 ,y 1 ) ve (x 2 ,y 2 ) iki noktasından geçen ve m eğimi verilen bir doğrunun denklemi:
\(\mathbf {y - y_1 = \frac {y_1 - y_2}{x_1 - x_2} ( x - x_1) }\)
Örnek : (-1, -2) noktasından geçen ve eğimi 4/5 olan doğrunun denklemini bulunuz.
Çözüm : Gerekli denklem
\(y - (-2) = \frac{4}{5}{{x - (-1)}} \\ y + 2 = \frac{4}{5} (x + 1) \\ 5y + 10 = 4x + 4 \\ -4x + 5y = -6\)
Cevap : -4x + 5y = -6 doğrunun denklemidir.
Örnek : y = 3x + 5'in eğimini ve y-kesen noktasını belirleyin.
Çözüm : y = mx + c ile karşılaştırırsak, m = 3 ve c = 5 elde ederiz
Cevap : Eğim = 3, Kesişim = 5
DÜZ BİR ÇİZGİNİN KESME ŞEKLİ
A ve b kesişme noktalarını eksenlerden kesen düz bir çizginin denklemi:
