Ми вже навчилися зображати точку і пряму на осі координат за допомогою декартових координат. У цьому уроці ми розглянемо певні формули, що стосуються двох точок на площині, а також виведемо рівняння прямої.
Розглянемо точку P, що лежить на відрізку AB.
P ділить AB всередині у співвідношенні AP: PB. На наведеному вище малюнку точка P ділить AB всередині у співвідношенні 2 : 3.
Тут ми збираємося знайти координати точки, яка розділяє лінію, що з’єднує дві задані точки в заданому співвідношенні. Нехай A (x 1, y 1 ) і B (x 2 , y 2 ) — дві задані точки, а P (x, y) — точка на прямій AB, яка ділить пряму у співвідношенні m 1 : m 2 , тоді координати P є
\(x = \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1+m_2}\\ y= \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1+m_2}\\\) |
Якими будуть координати середини?
Покладаючи m 1 = 1, m 2 = 1, координати середини:
\(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\)
Приклад : знайдіть координати точки, яка розділяє лінію, що з’єднує точки (4 6) і (-4, 2) у співвідношенні 1:3.
рішення :
\(x = \frac{(1\times-4) + (3 \times4)}{1+3} = \frac{8}{4} = 2\)
\(y = \frac{(1\times2) + (3 \times6)}{1+3} = \frac{20}{4} = 5\)
Відповідь : (2, 5) – координати точки.
Нахил (або градієнт) прямої лінії — це тангенс кута, який частина лінії над віссю х утворює з позитивним напрямком осі х.
Нахил лінії позначається літерою «m».
AP — це частина прямої над віссю x і \(\angle XAP = \theta\) тоді \(m = \tan\theta\) . Кут вимірюється від позитивного напрямку осі х проти годинникової стрілки до частини лінії над віссю х.
Нахил прямої, що з’єднує дві точки
Нехай A (x 1, y 1 ) і B (x 2 , y 2 ) — дві точки. Тоді нехай θ — кут нахилу прямої AB з віссю x
НАХИЛО-ПЕРЕСЕЧНА ФОРМА ЛІНІЇ
Якщо пряма l перетинає вісь x в точці A і вісь y в точці B, тоді
(i) OA називається точкою перетину , яку робить лінія на осі х, або просто точкою перетину х.
(ii) OB називається точкою перетину , утвореною лінією на осі y, або просто точкою перетину y.
Нехай P будь-яка точка на прямій l з координатами (x, y). Пряма l утворює кут θ з віссю X, а точка перетину OB на осі y дорівнює c.
Tan θ = m
Тангенс кута дорівнює нахилу прямої.
Рівняння прямої з кутом нахилу m і точкою перетину y c має вигляд y = mx + c.
ОДНОТОЧКОВА ФОРМА ПРЯМОЇ
Рівняння прямої лінії, що проходить через задану точку (x 1 ,y 1 ) із заданим нахилом m, виглядає так:
y - y 1 = m ( x − x 1 )
ДВОТОЧКОВА ФОРМА ПРЯМОЇ
Рівняння прямої лінії, що проходить через дві точки (x 1 , y 1 ) і (x 2 , y 2 ) із заданим нахилом m, виглядає так:
\(\mathbf {y - y_1 = \frac {y_1 - y_2}{x_1 - x_2} ( x - x_1) }\)
Приклад : Знайдіть рівняння прямої, що проходить через точку (-1, -2) і має нахил, що дорівнює 4/5.
Розв'язання : шукане рівняння
\(y - (-2) = \frac{4}{5}{{x - (-1)}} \\ y + 2 = \frac{4}{5} (x + 1) \\ 5y + 10 = 4x + 4 \\ -4x + 5y = -6\)
Відповідь : -4x + 5y = -6 є рівнянням прямої.
Приклад : визначте нахил і точку перетину y = 3x + 5.
Рішення : порівнюючи з y = mx + c, ми отримуємо m = 3 і c = 5
Відповідь : нахил = 3, перетин = 5
ФОРМА ПЕРЕХОДУ ПРЯМОЇ
Рівняння прямої лінії, яка відтинає точки a і b від осей, виглядає так:
