ہم نے پہلے ہی سیکھا ہے کہ کارٹیشین کوآرڈینیٹ کا استعمال کرتے ہوئے کوآرڈینیٹ محور پر ایک نقطہ اور لائن کی نمائندگی کیسے کی جاتی ہے۔ اس سبق میں، ہم ہوائی جہاز میں دو پوائنٹس سے متعلق کچھ فارمولے لیں گے اور ایک لائن کی مساوات بھی اخذ کریں گے۔
نقطہ P پر غور کریں لائن سیگمنٹ AB پر ہے۔
P AB کو اندرونی طور پر AP: PB کے تناسب میں تقسیم کرتا ہے۔ مندرجہ بالا تصویر میں، پوائنٹ P AB کو اندرونی طور پر تناسب 2: 3 میں تقسیم کرتا ہے۔
یہاں ہم نقطہ کے نقاط کو تلاش کرنے جا رہے ہیں جو اندرونی طور پر دو دیئے گئے پوائنٹس کو ایک دیئے گئے تناسب میں جوڑنے والی لائن کو تقسیم کرتا ہے۔ A (x 1, y 1 ) اور B (x 2 , y 2 ) کو دو دیئے گئے پوائنٹس ہونے دیں اور P (x, y) لائن AB پر ایک نقطہ ہے جو لائن کو تناسب m 1 : m 2 میں تقسیم کرتا ہے، پھر P کے نقاط ہیں۔
\(x = \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1+m_2}\\ y= \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1+m_2}\\\) |
وسط نقطہ کے نقاط کیا ہوں گے؟
m 1 = 1، m 2 = 1 ڈالتے ہوئے، وسط نقطہ کے نقاط ہیں:
\(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\)
مثال : پوائنٹ کے نقاط تلاش کریں جو پوائنٹس (4 6) اور (-4، 2) کو اندرونی طور پر 1:3 کے تناسب میں تقسیم کرتی ہے۔
حل :
\(x = \frac{(1\times-4) + (3 \times4)}{1+3} = \frac{8}{4} = 2\)
\(y = \frac{(1\times2) + (3 \times6)}{1+3} = \frac{20}{4} = 5\)
جواب : (2، 5) نقطہ کے نقاط ہیں۔
سیدھی لکیر کی ڈھلوان (یا میلان) زاویہ کا مماس ہے جسے x-axis کے اوپر لکیر کا حصہ x-axis کی مثبت سمت کے ساتھ بناتا ہے۔
ایک لکیر کی ڈھلوان حرف 'm' سے ظاہر ہوتی ہے۔
AP x-axis کے اوپر لائن کا حصہ ہے اور \(\angle XAP = \theta\) پھر \(m = \tan\theta\) ۔ زاویہ کو ایکس محور کی مثبت سمت سے گھڑی کی مخالف سمت میں ایکس محور کے اوپر والی لائن کے حصے تک ناپا جاتا ہے۔
دو پوائنٹس کو جوڑنے والی لکیر کی ڈھلوان
A (x 1, y 1 ) اور B (x 2 , y 2 ) کو دو پوائنٹس ہونے دیں۔ آئیے θ لائن AB کا جھکاؤ ایکس محور کے ساتھ ہے۔
ایک لائن کی ڈھلوان-انٹرسیپٹ شکل
اگر ایک سیدھی لکیر l A پر x-axis اور B پر y-محور سے ملتی ہے۔
(i) OA کو x-axis یا صرف x-intercept پر لکیر کے ذریعے بنایا جانے والا انٹرسیپٹ کہا جاتا ہے۔
(ii) OB کو y-axis یا صرف y-intercept پر لکیر کے ذریعے بنایا جانے والا انٹرسیپٹ کہا جاتا ہے۔
آئیے P کو کوآرڈینیٹس (x, y) کے ساتھ لائن l پر کوئی بھی نقطہ بنائیں۔ لائن l X-محور کے ساتھ ایک زاویہ θ بناتی ہے اور جس کا y-axis پر OB کا وقفہ c ہے۔
Tan θ = m
زاویہ کا ٹینجنٹ لائن کی ڈھلوان کے برابر ہے۔
ڈھلوان m اور y-intercept c کے ساتھ سیدھی لکیر کی مساوات y = mx + c ہے۔
ایک سیدھی لائن کی ایک نکاتی شکل
دیئے گئے نقطہ (x 1 ,y 1 ) اور دی گئی ڈھلوان m سے گزرنے والی سیدھی لائن کی مساوات ہے:
y - y 1 = m ( x − x 1 )
ایک سیدھی لائن کی دو نکاتی شکل
دو پوائنٹ (x 1 ,y 1 ) اور (x 2 ,y 2 ) اور دی گئی ڈھلوان m سے گزرنے والی سیدھی لکیر کی مساوات ہے:
\(\mathbf {y - y_1 = \frac {y_1 - y_2}{x_1 - x_2} ( x - x_1) }\)
مثال : پوائنٹ (-1، -2) اور 4/5 کے برابر ڈھلوان کے ذریعے سیدھی لائن کی مساوات تلاش کریں۔
حل : مطلوبہ مساوات ہے۔
\(y - (-2) = \frac{4}{5}{{x - (-1)}} \\ y + 2 = \frac{4}{5} (x + 1) \\ 5y + 10 = 4x + 4 \\ -4x + 5y = -6\)
جواب : -4x + 5y = -6 سیدھی لکیر کی مساوات ہے۔
مثال : y = 3x + 5 کی ڈھلوان اور y-انٹرسیپٹ کا تعین کریں۔
حل : y = mx + c کے ساتھ موازنہ کرتے ہوئے، ہمیں m = 3 اور c = 5 ملتا ہے۔
جواب : ڈھلوان = 3، انٹرسیپٹ = 5
ایک سیدھی لائن کی انٹرسیپٹ شکل
ایک سیدھی لکیر کی مساوات جو محوروں سے وقفہ a اور b کو کاٹ دیتی ہے:
