Chúng ta đã học cách biểu diễn một điểm và một đường thẳng trên trục tọa độ bằng cách sử dụng tọa độ cartesian. Trong bài học này, chúng ta sẽ sử dụng một số công thức liên quan đến hai điểm trong mặt phẳng và cũng rút ra phương trình của một đường thẳng.
Xét điểm P nằm trên đoạn thẳng AB.
P chia hết AB theo tỉ số AP : PB. Trong hình trên, Điểm P chia AB bên trong theo tỷ lệ 2: 3.
Ở đây chúng ta sẽ tìm tọa độ của điểm chia bên trong đường thẳng nối hai điểm đã cho theo một tỷ lệ nhất định. Gọi A(x 1 , y 1 ) và B( x 2 , y 2 ) là hai điểm đã cho và P(x, y) là một điểm trên đường thẳng AB chia đoạn thẳng thành tỉ số m 1 : m 2 , khi đó tọa độ của P là
\(x = \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1+m_2}\\ y= \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1+m_2}\\\) |
Tọa độ của trung điểm sẽ là gì?
Đặt m 1 = 1, m 2 = 1 thì tọa độ trung điểm là:
\(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\)
Ví dụ : Tìm tọa độ của điểm mà đường thẳng nối hai điểm (4 6) và (-4, 2) nội tiếp theo tỉ lệ 1:3.
Giải pháp :
\(x = \frac{(1\times-4) + (3 \times4)}{1+3} = \frac{8}{4} = 2\)
\(y = \frac{(1\times2) + (3 \times6)}{1+3} = \frac{20}{4} = 5\)
Trả lời : (2, 5) là tọa độ của điểm.
Hệ số góc (hay độ dốc) của một đường thẳng là tang của góc mà phần của đường thẳng phía trên trục x tạo với chiều dương của trục x.
Độ dốc của một đường được biểu thị bằng chữ 'm'.
AP là phần của đường phía trên trục x và \(\angle XAP = \theta\) thì \(m = \tan\theta\) . Góc được đo từ chiều dương của trục x theo hướng ngược chiều kim đồng hồ đến phần của đường phía trên trục x.
Hệ số góc của đường nối hai điểm
Cho A(x 1 , y 1 ) và B( x 2 , y 2 ) là hai điểm. Gọi θ là độ nghiêng của đường thẳng AB với trục x thì
DẠNG DÒNG GIAO TUYẾN CỦA MỘT ĐƯỜNG
Nếu một đường thẳng l cắt trục x tại A và trục y tại B thì
(i) OA được gọi là giao điểm tạo bởi đường thẳng trên trục x hay đơn giản là giao điểm x.
(ii) OB được gọi là giao điểm của đường thẳng trên trục y hay đơn giản là giao điểm của y.
Gọi P là một điểm bất kỳ trên đường thẳng l có tọa độ (x, y). Đường thẳng l tạo một góc θ với trục X và có OB chắn trục y là c.
Tân θ = m
Tang của góc bằng hệ số góc của đường thẳng.
Phương trình của đường thẳng có hệ số góc m và tung độ gốc y c là y = mx + c.
ĐIỂM MỘT ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG
Phương trình của đường thẳng đi qua một điểm cho trước (x 1 ,y 1 ) và cho trước hệ số góc m là:
y - y 1 = m ( x − x 1 )
HAI ĐIỂM CỦA MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm (x 1 ,y 1 ) và (x 2 ,y 2 ) và cho hệ số góc m là:
\(\mathbf {y - y_1 = \frac {y_1 - y_2}{x_1 - x_2} ( x - x_1) }\)
Ví dụ : Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm (-1, -2) và có hệ số góc bằng 4/5.
Lời giải : Phương trình cần tìm là
\(y - (-2) = \frac{4}{5}{{x - (-1)}} \\ y + 2 = \frac{4}{5} (x + 1) \\ 5y + 10 = 4x + 4 \\ -4x + 5y = -6\)
Trả lời : -4x + 5y = -6 là phương trình của đường thẳng.
Ví dụ : Xác định hệ số góc và tung độ gốc của y = 3x + 5.
Giải : so với y = mx + c ta được m = 3 và c = 5
Trả lời : Độ dốc = 3, Giao điểm = 5
DẠNG GIAO ĐOẠN CỦA ĐƯỜNG THẲNG
Phương trình đường thẳng cắt giao tuyến a, b đối với hai trục là:
