गणित और निर्देशांक ज्यामिति में परावर्तन एक परिवर्तन है जो किसी रेखा या बिंदु पर आकृति के पलटने को दर्शाता है। यह परिवर्तन एक ऐसी छवि की ओर ले जाता है जो मूल आकृति का दर्पण प्रतिरूप है।
परावर्तन का मूल सिद्धांत दर्पण छवियों से संबंधित है। जब कोई वस्तु किसी निश्चित रेखा या बिंदु पर परावर्तित होती है, तो वस्तु का प्रत्येक बिंदु और उसकी छवि इस रेखा या बिंदु से समान दूरी पर होती है, जिसे परावर्तन रेखा या परावर्तन बिंदु के रूप में जाना जाता है।
जब एक बिंदु या बिंदुओं के समूह को एक रेखा \( y = mx + b \) के संबंध में एक तल में परावर्तित किया जाता है, तो रेखा \( y = mx + b \) सममिति की धुरी बन जाती है। रेखा \( y = mx + b \) \) पर एक बिंदु \( P(a, b) \) के परावर्तन के परिणामस्वरूप एक बिंदु \( P'(a', b') \) बनता है, जहां \( P \) और \( P' \) को मिलाने वाला रेखाखंड अपने मध्य बिंदु पर \( y = mx + b \) के लंबवत होता है।
कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली में, परावर्तन सामान्यतः x-अक्ष, y-अक्ष या मूल बिन्दु पर होता है। इन परावर्तनों के लिए परिवर्तन नियम सरल हैं:
उदाहरण के लिए, यदि हम \( (1, 2) \) , \( (3, 3) \) , और \( (2, 4) \) पर शीर्षों वाला एक त्रिभुज लें, और इसे x-अक्ष पर परावर्तित करें, तो परावर्तित त्रिभुज के शीर्ष \( (1, -2) \) , \( (3, -3) \) , और \( (2, -4) \) होंगे।
परावर्तन समरूपता की अवधारणा से निकटता से जुड़ा हुआ है, विशेष रूप से परावर्तक समरूपता। यदि किसी वस्तु को दो दर्पण-प्रतिबिंब हिस्सों में विभाजित करने वाली कम से कम एक रेखा हो तो वह वस्तु परावर्तक समरूपता प्रदर्शित करती है।
परावर्तक समरूपता के सामान्य उदाहरण दैनिक जीवन में देखे जा सकते हैं, जैसे कि तितली या मानव चेहरे की संरचना में। तितली या चेहरे के दोनों किनारे एक विशेष समरूपता रेखा पर एक दूसरे के प्रतिबिंब के रूप में कार्य करते हैं।
\( y = x \) या \( y = -x \) जैसी रेखा पर किसी आकृति को परावर्तित करने के लिए बीजगणितीय अभिव्यक्ति क्रम युग्मों के सेट और उनके संबंधों से प्राप्त होती है। \( y = x \) पर परावर्तन x और y निर्देशांकों को बदल देता है, \( (x, y) \) \( (y, x) \) पर मैप हो जाता है, और \( y = -x \) परिणामस्वरूप \( (x, y) \) को \( (-y, -x) \) परावर्तित किया जाता है।
चिंतन न केवल गणित में सैद्धांतिक हितों की पूर्ति करता है, बल्कि व्यावहारिक अनुप्रयोग भी ढूंढता है:
एक प्रयोग जो दृश्य रूप से प्रतिबिंब को प्रदर्शित करता है, एक साधारण समतल दर्पण का उपयोग करता है। एक वस्तु को एक ऊर्ध्वाधर समतल दर्पण के सामने रखें और देखें कि छवि कांच के पीछे कैसे दिखाई देती है, आकार और आकृति को बनाए रखते हुए लेकिन बाएं से दाएं उलट जाती है। यह अभिविन्यास उलटा ऊर्ध्वाधर रेखा (y-अक्ष) में प्रतिबिंब की प्रकृति को दर्शाता है।
परावर्तन निर्देशांक ज्यामिति में एक परिवर्तन है जो ज्यामितीय आकृतियों की दर्पण जैसी छवियां बनाता है। यह मौलिक अवधारणा न केवल ज्यामिति के सैद्धांतिक परिदृश्य को समृद्ध करती है बल्कि इसके प्रभावों को विभिन्न वैज्ञानिक और कलात्मक क्षेत्रों में भी विस्तारित करती है।
प्रतिबिंबों, उनके गणितीय विवरण और भौतिक अभिव्यक्ति को समझने से हमें अपने आसपास की दुनिया के सममित पहलुओं की गहन समझ प्राप्त होती है, तथा शैक्षिक और व्यावहारिक दोनों संदर्भों में मूल्यवान अंतर्दृष्टि प्राप्त होती है।
