การสะท้อน ในคณิตศาสตร์และเรขาคณิตพิกัดเป็นการเปลี่ยนแปลงที่แสดงถึงการพลิกของตัวเลขเหนือเส้นหรือจุด การเปลี่ยนแปลงนี้นำไปสู่ภาพที่เป็นเหมือนกระจกเงาของภาพต้นฉบับ
หลักการพื้นฐานของการสะท้อนเกี่ยวข้องกับ ภาพสะท้อนในกระจก เมื่อวัตถุสะท้อนผ่านเส้นหรือจุดใดจุดหนึ่ง ทุกจุดของวัตถุและภาพของวัตถุจะมีระยะห่างจากเส้นหรือจุดนี้เท่ากัน หรือที่เรียกว่าเส้นสะท้อนหรือจุดสะท้อน
เมื่อสะท้อนจุดหรือเซตของจุดในระนาบด้วยความเคารพต่อเส้นตรง \( y = mx + b \) เส้นตรง \( y = mx + b \) จะกลายเป็นแกนสมมาตร การสะท้อนของจุด \( P(a, b) \) บนเส้นตรง \( y = mx + b \) ส่งผลให้เกิดจุด \( P'(a', b') \) โดยที่ส่วนของเส้นตรงเชื่อม \( P \) และ \( P' \) ตั้งฉากกับ \( y = mx + b \) ที่จุดกึ่งกลาง
ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน การสะท้อนมักเกิดขึ้นเหนือแกน x แกน y หรือจุดกำเนิด กฎการเปลี่ยนแปลงสำหรับการสะท้อนเหล่านี้มีความเรียบง่าย:
ตัวอย่างเช่น ถ้าเราหารูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่ที่ \( (1, 2) \) , \( (3, 3) \) และ \( (2, 4) \) แล้วสะท้อนมันเหนือแกน x จุดยอดของสามเหลี่ยมสะท้อนจะเป็น \( (1, -2) \) , \( (3, -3) \) และ \( (2, -4) \)
การสะท้อนมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับแนวคิดเรื่องสมมาตร โดยเฉพาะสมมาตรสะท้อนแสง วัตถุมีความสมมาตรในการสะท้อนแสงหากมีอย่างน้อยหนึ่งเส้นแบ่งวัตถุออกเป็นสองซีกของภาพสะท้อนในกระจก
ตัวอย่างทั่วไปของความสมมาตรแบบสะท้อนแสงสามารถพบเห็นได้ในชีวิตประจำวัน เช่น ในโครงสร้างของผีเสื้อหรือใบหน้ามนุษย์ ผีเสื้อหรือหน้าทั้งสองด้านทำหน้าที่เป็นภาพสะท้อนของกันและกันเหนือเส้นสมมาตรเฉพาะ
นิพจน์พีชคณิตสำหรับการสะท้อนตัวเลขบนเส้นเช่น \( y = x \) หรือ \( y = -x \) มาจากชุดของคู่ลำดับและความสัมพันธ์ของคู่ลำดับเหล่านั้น การสะท้อนกลับเหนือ \( y = x \) สลับพิกัด x และ y, \( (x, y) \) แมปกับ \( (y, x) \) และ \( y = -x \) ส่งผลให้เกิดการสะท้อน \( (x, y) \) ถึง \( (-y, -x) \)
การสะท้อนกลับไม่เพียงแต่มีประโยชน์ต่อความสนใจทางทฤษฎีในวิชาคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังพบการนำไปประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติด้วย:
การทดลองหนึ่งที่แสดงให้เห็นการสะท้อนด้วยสายตานั้นใช้กระจกระนาบธรรมดา วางวัตถุไว้หน้ากระจกระนาบแนวตั้ง และสังเกตว่าภาพปรากฏด้านหลังกระจกอย่างไร โดยคงขนาดและรูปร่างไว้ แต่กลับจากซ้ายไปขวา การกลับทิศทางนี้รวมเอาธรรมชาติของการสะท้อนข้ามเส้นแนวตั้ง (แกน y)
การสะท้อนกลับเป็นการเปลี่ยนแปลงในเรขาคณิตพิกัดที่สร้างภาพรูปทรงเรขาคณิตเหมือนกระจก แนวคิดพื้นฐานนี้ไม่เพียงแต่เสริมสร้างภูมิทัศน์ทางทฤษฎีของเรขาคณิต แต่ยังขยายอิทธิพลไปสู่สาขาวิทยาศาสตร์และศิลปะต่างๆ
การทำความเข้าใจการไตร่ตรอง คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ และการแสดงออกทางกายภาพทำให้มีความเข้าใจที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นเกี่ยวกับแง่มุมที่สมมาตรของโลกรอบตัวเรา โดยให้ข้อมูลเชิงลึกที่มีคุณค่าทั้งในบริบททางวิชาการและการปฏิบัติ
