Primer lesson: مثلث

مثلث یک منحنی بسته ساده است که از سه بخش خط تشکیل شده است. دارای سه رأس، سه ضلع و سه زاویه است.

\(\overline {AB}, \overline {BC}, \overline {AC}\) قطعات خط هستند
\(\angle ABC, \angle BAC, \angle BCA\) سه زاویه هستند
آ ، B و C سه رأس هستند.

طرف مقابل راس آ است \(\overline{BC}\) ، به طور مشابه، طرف مقابل راس B است \(\overline {AC}\) و ضلع مقابل راس C است \( \overline {BA}\) .

طبقه بندی

طبقه بندی مثلث ها بر اساس اضلاع

مثلث Scalene - اگر هیچ یک از سه ضلع یک مثلث با هم مساوی نباشد، آن را مثلث Scalene می نامند.

مثلث متساوی الساقین - اگر در یک مثلث هر دو ضلع با هم برابر باشند، آن را مثلث متساوی الساقین می نامند.

مثلث متساوی الاضلاع - اگر هر سه ضلع یک مثلث با هم برابر باشند به آن مثلث متساوی الاضلاع می گویند.

طبقه بندی مثلث ها بر اساس زوایا

مثلث حاد - اگر در یک مثلث هر زاویه کمتر از 90 درجه باشد، آن مثلث را مثلث حاد می گویند.

مثلث منفرد - اگر یکی از زاویه ها بزرگتر از 90 درجه باشد، آن مثلث را مثلث منفرد می نامند.

مثلث قائم الزاویه - اگر یکی از زوایا قائم الزاویه باشد آن مثلث را مثلث قائم الزاویه می گویند.

میانه های یک مثلث

میانه یک راس مثلث را به نقطه وسط ضلع مقابل متصل می کند.

\(\overline {AD} \) میانه است و \(\overline {BD} = \overline {DC}\)

یک مثلث چند وسط می تواند داشته باشد؟

راه حل: 3 ( میانه از سه راس)

ارتفاعات یک مثلث

ارتفاع مثلث قسمت عمود بر یک مثلث به سمت مقابل است.

\(\overline {AO} \) ارتفاع است و \(\angle AOC = 90^\circ, \angle AOB = 90^\circ\)

آیا ارتفاع همیشه در داخل یک مثلث قرار دارد؟

راه حل: خیر

یک ارتفاع از راس در یک مثلث زاویه منفرد کشیده شده است، در قسمت بیرونی مثلث قرار دارد.

زاویه بیرونی مثلث

یک مثلث ABC رسم کنید و یکی از اضلاع آن را تولید کنید، مثل BC همانطور که در شکل زیر نشان داده شده است.

زاویه ACD را در نقطه C مشاهده کنید . این زاویه در قسمت بیرونی ∆ ABC قرار دارد. ما آن را زاویه خارجی Δ ABC می نامیم که در راس C تشکیل شده است. واضح است که ∠BCA یک زاویه مجاور با ∠ACD است. دو زاویه باقیمانده مثلث، یعنی ∠ آ و ∠B را دو زاویه داخلی مخالف می نامند.

خواص

زاویه بیرونی یک مثلث برابر است با مجموع نقطه مقابل آن زاویه	∠ACD = ∠ آ + ∠B
مجموع زاویه بیرونی و زاویه داخلی مجاور آن 180 درجه است	∠ACD + ∠ACB = 180 درجه

آیا زوایای بیرونی در هر رأس مثلث با هم برابرند؟

راه حل: خیر (زاویه بیرونی برابر است با مجموع دو زاویه داخلی مقابل)

ویژگی مجموع زاویه یک مثلث

اندازه کل سه زاویه یک مثلث 180 درجه است.

دو مثلث را روی کاغذ صاف بکشید و زوایای آنها را با محافظ اندازه بگیرید. چه چیزی را مشاهده می کنید؟

در ∆ ABC، ∠A + ∠B + ∠C = ?

در ∆ DEF ∠D + ∠E + ∠F = ?

(هر نوع مثلثی را می توانید رسم کنید، مجموع هر سه زاویه 180 درجه خواهد بود)

مثال 1: در ΔABC طول BC 10 سانتی متر است. AD یک میانه است. طول DC را پیدا کنید.

راه حل: AD یک میانه است، بنابراین ضلع BC را به دو نیمه مساوی تقسیم می کند. DC = 10/2 = 5 سانتی متر

مثال 2: مقدار زاویه بیرونی را بیابید:

راه حل: یک زاویه بیرونی مجموع دو زاویه داخلی مخالف است، بنابراین برابر است با 60 درجه + 40 درجه = 100 درجه.

مثال 3: مقدار \(\angle x\) را پیدا کنید:

راه حل: از آنجایی که مجموع سه زاویه برابر با 180 درجه است ، بنابراین \(\angle x = 180 - 70- 45 = 65\)

مثلث