Primer lesson: त्रिकोण

एक त्रिभुज तीन रेखा खंडों से बना एक साधारण बंद वक्र है। इसमें तीन शीर्ष, तीन भुजाएँ और तीन कोण होते हैं।

\(\overline {AB}, \overline {BC}, \overline {AC}\) रेखाखण्ड हैं
\(\angle ABC, \angle BAC, \angle BCA\) तीन कोण हैं
ए , B, और C तीन शीर्ष हैं।

शीर्ष के विपरीत भुजा ए है \(\overline{BC}\) , इसी प्रकार, शीर्ष B के विपरीत भुजा है \(\overline {AC}\) और शीर्ष C की विपरीत भुजा है \( \overline {BA}\) .

वर्गीकरण

भुजाओं के आधार पर त्रिभुजों का वर्गीकरण

विषमबाहु त्रिभुज - यदि किसी त्रिभुज की तीनों भुजाओं में से कोई भी एक दूसरे के बराबर न हो तो उसे विषमबाहु त्रिभुज कहते हैं।

समद्विबाहु त्रिभुज - यदि किसी त्रिभुज में कोई दो भुजाएँ बराबर हों तो उसे समद्विबाहु त्रिभुज कहते हैं।

समबाहु त्रिभुज - यदि किसी त्रिभुज की तीनों भुजाएँ बराबर हों तो उसे समबाहु त्रिभुज कहते हैं।

कोणों के आधार पर त्रिभुजों का वर्गीकरण

न्यूनकोण त्रिभुज - यदि किसी त्रिभुज में प्रत्येक कोण 90° से कम हो तो वह त्रिभुज न्यूनकोण त्रिभुज कहलाता है।

अधिककोण त्रिभुज - यदि किसी एक कोण का मान 90° से अधिक हो तो वह त्रिभुज अधिककोण त्रिभुज कहलाता है।

समकोण त्रिभुज - यदि कोई एक कोण समकोण हो तो वह त्रिभुज समकोण त्रिभुज कहलाता है।

त्रिभुज की माध्यिकाएँ

एक माध्यिका त्रिभुज के एक शीर्ष को सम्मुख भुजा के मध्य-बिंदु से जोड़ती है।

\(\overline {AD} \) माध्यिका है और \(\overline {BD} = \overline {DC}\)

एक त्रिभुज की कितनी माध्यिकाएँ हो सकती हैं?

हल: 3 (तीन शीर्षों से माध्यिकाएँ)

त्रिभुज की ऊँचाई

त्रिभुज का शीर्षलंब त्रिभुज के शीर्ष से विपरीत दिशा में लंबवत खंड होता है।

\(\overline {AO} \) ऊंचाई है और \(\angle AOC = 90^\circ, \angle AOB = 90^\circ\)

क्या एक शीर्षलंब हमेशा एक त्रिभुज के अभ्यंतर में स्थित होगा?

हल: नहीं

एक अधिककोण त्रिभुज में शीर्ष से एक ऊँचाई खींची जाती है, यह त्रिभुज के बाहरी भाग में स्थित होती है।

एक त्रिभुज का बाहरी कोण

एक त्रिभुज ABC खींचिए और उसकी एक भुजा, मान लीजिए BC बढ़ाइए, जैसा कि नीचे दी गई आकृति में दिखाया गया है।

बिंदु C पर बने कोण ACD को देखें। यह कोण ∆ ABC के बहिर्भाग में स्थित है । हम इसे शीर्ष C पर बने ∆ ABC का बहिष्कोण कहते हैं। स्पष्ट रूप से ∠BCA, ∠ACD का आसन्न कोण है। त्रिभुज के शेष दो कोण, अर्थात् ∠ ए और ∠B दो आंतरिक विपरीत कोण कहलाते हैं।

गुण

एक त्रिभुज का एक बाहरी कोण इसके आंतरिक विपरीत के योग के बराबर होता है एंगल्स	∠एसीडी = ∠ ए + ∠बी
बाहरी कोण और उसके आसन्न आंतरिक कोण का योग 180° है	∠ACD + ∠ACB = 180°

क्या किसी त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष पर बने बाह्य कोण बराबर होते हैं?

हल: नहीं (बाह्य कोण दो आंतरिक विपरीत कोणों के योग के बराबर है)

त्रिभुज का कोण योग गुण

त्रिभुज के तीनों कोणों की कुल माप 180° होती है।

समतल कागज पर दो त्रिभुज बनाइए और रक्षक की सहायता से उनके कोणों को मापिए। आप क्या देखते हैं?

∆ ABC में , ∠A + ∠B + ∠C = ?

∆ में डीईएफ़ ∠D + ∠E + ∠F = ?

(आप किसी भी प्रकार का त्रिभुज बना सकते हैं, तीनों कोणों का योग 180 ° होगा)

उदाहरण 1: ΔABC में, BC 10 सेमी लंबा है। AD एक माध्यिका है। डीसी की लंबाई पाएं।

हल: AD एक माध्यिका है, इसलिए यह भुजा BC को दो बराबर भागों में काटती है। डीसी = 10/2 = 5 सेमी

उदाहरण 2: बाह्य कोण का मान ज्ञात कीजिए:

हल: एक बाह्य कोण दो अंतः विपरीत कोणों का योग होता है, इसलिए यह 60° + 40° = 100° के बराबर होता है

उदाहरण 3: \(\angle x\) का मान ज्ञात कीजिए:

हल: चूँकि तीन कोणों का योग 180 ° के बराबर होता है , इसलिए, \(\angle x = 180 - 70- 45 = 65\)

त्रिकोण