Primer lesson: driehoek

Een driehoek is een eenvoudige gesloten kromme bestaande uit drie lijnsegmenten. Het heeft drie hoekpunten, drie zijden en drie hoeken.

\(\overline {AB}, \overline {BC}, \overline {AC}\) zijn de lijnstukken
\(\angle ABC, \angle BAC, \angle BCA\) zijn de drie hoeken
A , B en C zijn drie hoekpunten.

De zijde tegenover hoekpunt A is \(\overline{BC}\) , evenzo is de zijde tegenover hoekpunt B \(\overline {AC}\) en de zijde tegenover hoekpunt C is \( \overline {BA}\) .

CLASSIFICATIE

Classificatie van driehoeken op basis van zijden

Scalene-driehoek - Als geen van de drie zijden van een driehoek gelijk is aan elkaar, wordt dit een Scalene-driehoek genoemd.

Gelijkbenige driehoek - Als in een driehoek twee zijden gelijk zijn, wordt dit een gelijkbenige driehoek genoemd.

Gelijkzijdige driehoek - Als alle drie de zijden van een driehoek gelijk zijn, wordt dit een gelijkzijdige driehoek genoemd.

Classificatie van driehoeken op basis van hoeken

Scherphoekige driehoek - Als in een driehoek elke hoek kleiner is dan 90°, wordt de driehoek een scherphoekige driehoek genoemd.

Stomphoekige driehoek - Als een van de hoeken groter is dan 90°, wordt de driehoek een stompe driehoek genoemd.

Rechthoekige driehoek - Als een van de hoeken een rechte hoek is, wordt de driehoek een rechthoekige driehoek genoemd.

MEDIANEN VAN EEN DRIEHOEK

Een zwaartelijn verbindt een hoekpunt van een driehoek met het middelpunt van de tegenoverliggende zijde.

\(\overline {AD} \) is de mediaan en \(\overline {BD} = \overline {DC}\)

Hoeveel zwaartelijnen kan een driehoek hebben?

Oplossing: 3 (medianen van drie hoekpunten)

HOOGTE VAN EEN DRIEHOEK

Een hoogte van een driehoek is het loodrechte segment van een hoekpunt van een driehoek naar de tegenoverliggende zijde.

\(\overline {AO} \) is de hoogte en \(\angle AOC = 90^\circ, \angle AOB = 90^\circ\)

Ligt een hoogte altijd in het binnenste van een driehoek?

Oplossing: Nee

Een hoogte wordt getekend vanaf het hoekpunt in een stompe hoekdriehoek, deze ligt aan de buitenkant van de driehoek.

BUITENHOEK VAN EEN DRIEHOEK

Teken een driehoek ABC en produceer een van de zijden, zeg BC, zoals weergegeven in de onderstaande afbeelding.

Bekijk de hoek ACD gevormd in punt C. Deze hoek ligt in de buitenkant van ∆ ABC. We noemen het een buitenhoek van de ∆ ABC gevormd bij hoekpunt C. Het is duidelijk dat ∠BCA een hoek is die grenst aan ∠ACD. De overige twee hoeken van de driehoek, namelijk ∠ A en ∠B worden de twee binnenste overstaande hoeken genoemd.

Eigenschappen

Een uitwendige hoek van een driehoek is gelijk aan de som van zijn inwendige tegengestelde hoeken	∠ACD = ∠ A + ∠B
De som van de buitenhoek en de aangrenzende binnenhoek is 180°	∠ACD + ∠ACB = 180°

Zijn de buitenhoeken gevormd op elk hoekpunt van een driehoek gelijk?

Oplossing: Nee (de buitenhoek is gelijk aan de som van twee tegenoverliggende binnenhoeken)

HOEK SOM EIGENSCHAP VAN EEN DRIEHOEK

De totale maat van de drie hoeken van een driehoek is 180°.

Teken twee driehoeken op vlak papier en meet hun hoeken met behulp van een beschermer. Wat neem je waar?

In ∆ABC , ∠A + ∠B + ∠C = ?

In ∆ DEF ∠D + ∠E + ∠F = ?

(je kunt elke soort driehoek tekenen, de som van alle drie de hoeken is 180 °)

Voorbeeld 1: In ΔABC is BC 10 cm lang. AD is een mediaan. Zoek de lengte van DC.

Oplossing: AD is een mediaan, daarom snijdt het de zijde BC in twee gelijke helften. DC = 10/2 = 5 cm

Voorbeeld 2: Zoek de waarde van de buitenhoek:

Oplossing: een buitenhoek is de som van twee tegenoverliggende binnenhoeken en is daarom gelijk aan 60° + 40° = 100°

Voorbeeld 3: Vind de waarde van \(\angle x\) :

Oplossing: aangezien de som van drie hoeken gelijk is aan 180 °, dus \(\angle x = 180 - 70- 45 = 65\)

driehoek