Primer lesson: треугольник

Треугольник — это простая замкнутая кривая, состоящая из трех отрезков. У него три вершины, три стороны и три угла.

\(\overline {AB}, \overline {BC}, \overline {AC}\) сегменты линии
\(\angle ABC, \angle BAC, \angle BCA\) - это три угла
А , B и C — три вершины.

Сторона, противоположная вершине А является \(\overline{BC}\) , аналогично, сторона, противоположная вершине B, равна \(\overline {AC}\) а сторона, противоположная вершине C, равна \( \overline {BA}\) .

КЛАССИФИКАЦИЯ

Классификация треугольников по сторонам

Разносторонний треугольник. Если ни одна из трех сторон треугольника не равна друг другу, такой треугольник называется разносторонним.

Равнобедренный треугольник - Если в треугольнике любые две стороны равны, то такой треугольник называется равнобедренным.

Равносторонний треугольник - Если все три стороны треугольника равны, он называется равносторонним треугольником.

Классификация треугольников по углам

Остроугольный треугольник - Если в треугольнике каждый угол меньше 90°, то такой треугольник называется остроугольным.

Тупоугольный треугольник - Если один из углов больше 90°, то такой треугольник называется тупоугольным.

Прямоугольный треугольник - Если один из углов прямой, то такой треугольник называется прямоугольным.

МЕДИАНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА

Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

\(\overline {AD} \) это медиана и \(\overline {BD} = \overline {DC}\)

Сколько медиан может быть у треугольника?

Решение: 3 (медианы из трех вершин)

ВЫСОТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА

Высота треугольника – это отрезок перпендикуляра, проведенный из вершины треугольника к противоположной стороне.

\(\overline {AO} \) высота и \(\angle AOC = 90^\circ, \angle AOB = 90^\circ\)

Всегда ли высота лежит внутри треугольника?

Решение: нет

Из вершины тупоугольного треугольника проведена высота, она лежит во внешней стороне треугольника.

ВНЕШНИЙ УГОЛ ТРЕУГОЛЬНИКА

Нарисуйте треугольник ABC и изобразите одну из его сторон, скажем, BC, как показано на рисунке ниже.

Обратите внимание на угол ACD, образованный в точке C. Этот угол лежит снаружи ∆ ABC. Мы называем его внешним углом ∆ ABC, образованным в вершине C. Ясно, что ∠BCA является смежным углом с ∠ACD. Остальные два угла треугольника, а именно ∠ А и ∠B называются двумя внутренними противоположными углами.

Характеристики

Внешний угол треугольника равен сумме его внутренних противолежащих углы	∠ACD = ∠ А + ∠В
Сумма внешнего угла и прилежащего к нему внутреннего угла равна 180°.	∠ACD + ∠ACB = 180°

Равны ли внешние углы, образованные при каждой вершине треугольника?

Решение: Нет (внешний угол равен сумме двух внутренних противоположных углов)

СВОЙСТВО СУММЫ УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА

Сумма трех углов треугольника равна 180°.

Начертите на плоской бумаге два треугольника и измерьте их углы с помощью протектора. Что вы наблюдаете?

В ∆ABC , ∠А + ∠В + ∠С = ?

В ∆ ДЭФ ∠D + ∠E + ∠F = ?

(можно нарисовать любой вид треугольника, сумма всех трех углов будет 180 °)

Пример 1: В ΔABC длина BC равна 10 см. AD является медианой. Найдите длину ДК.

Решение: AD — медиана, поэтому она делит сторону BC на две равные половины. ДС = 10/2 = 5 см

Пример 2: Найдите значение внешнего угла:

Решение: внешний угол равен сумме двух внутренних противоположных углов, поэтому он равен 60° + 40° = 100°.

Пример 3: Найдите значение \(\angle x\) :

Решение: Так как сумма трех углов равна 180 °, то \(\angle x = 180 - 70- 45 = 65\)

треугольник