Primer lesson: triangel

En triangel är en enkel sluten kurva gjord av tre linjesegment. Den har tre hörn, tre sidor och tre vinklar.

\(\overline {AB}, \overline {BC}, \overline {AC}\) är linjesegmenten
\(\angle ABC, \angle BAC, \angle BCA\) är de tre vinklarna
A , B och C är tre hörn.

Sidan mitt emot vertex A är \(\overline{BC}\) på samma sätt är sidan motsatt vertex B \(\overline {AC}\) och sidan motsatt vertex C är \( \overline {BA}\) .

KLASSIFICERING

Klassificering av trianglar baserat på sidor

Skalen triangel - Om ingen av de tre sidorna i en triangel är lika med varandra kallas det en skalen triangel.

Likbent triangel - Om två sidor i en triangel är lika, kallas det en likbent triangel.

Liksidig triangel - Om alla tre sidorna i en triangel är lika kallas den för en liksidig triangel.

Klassificering av trianglar baserad på vinklar

Spetsvinklad triangel - Om varje vinkel i en triangel är mindre än 90°, kallas triangeln en spetsvinklig triangel.

Trubbvinklad triangel - Om en av vinklarna är större än 90°, så kallas triangeln en trubbvinklad triangel.

Rättvinklad triangel - Om en av vinklarna är en rät vinkel kallas triangeln för en rätvinklig triangel.

MEDIANER AV EN TRIANGEL

En median förbinder en vertex i en triangel med mittpunkten på den motsatta sidan.

\(\overline {AD} \) är medianen och\(\overline {BD} = \overline {DC}\)

Hur många medianer kan en triangel ha?

Lösning: 3 (median från tre hörn)

HÖJDER PÅ EN TRIANGEL

En triangels höjd är det vinkelräta segmentet från en vertex i en triangel till den motsatta sidan.

\(\overline {AO} \) är höjden och \(\angle AOC = 90^\circ, \angle AOB = 90^\circ\)

Kommer en höjd alltid att ligga i det inre av en triangel?

Lösning: Nej

En höjd ritas från spetsen i en trubbig vinkeltriangel, den ligger i triangelns yttre.

EXTERIÖR VINKEL PÅ EN TRIANGEL

Rita en triangel ABC och framställ en av dess sidor, säg BC som visas i bilden nedan.

Observera vinkeln ACD som bildas vid punkt C. Denna vinkel ligger i utsidan av ∆ ABC. Vi kallar det för en yttre vinkel av ∆ ABC som bildas vid vertex C. Tydligen är ∠BCA en angränsande vinkel till ∠ACD. De återstående två vinklarna i triangeln, nämligen ∠ A och ∠B kallas de två inre motstående vinklarna.

Egenskaper

En yttre vinkel av en triangel är lika med summan av dess inre motsats vinklar	∠ACD = ∠ A + ∠B
Summan av den yttre vinkeln och dess intilliggande inre vinkel är 180°	∠ACD + ∠ACB = 180°

Är de yttre vinklarna som bildas vid varje vertex i en triangel lika?

Lösning: Nej (den yttre vinkeln är lika med summan av två inre motsatta vinklar)

VINKEL SUMMA EGENSKAP FÖR EN TRIANGEL

Det totala måttet för de tre vinklarna i en triangel är 180°.

Rita två trianglar på plant papper och mät deras vinklar med ett skydd. Vad observerar du?

I ∆ ABC är ∠A + ∠B + ∠C = ?

I ∆ DEF ∠D + ∠E + ∠F = ?

(du kan rita vilken triangel som helst, summan av alla tre vinklarna blir 180 °)

Exempel 1: I ΔABC är BC 10 cm lång. AD är en median. Hitta längden på DC.

Lösning: AD är en median, därför skär den sidan BC i två lika stora halvor. DC = 10/2 = 5 cm

Exempel 2: Hitta värdet på den yttre vinkeln:

Lösning: En yttre vinkel är summan av två inre motsatta vinklar, därför är den lika med 60° + 40° = 100°

Exempel 3: Hitta värdet för \(\angle x\) :

Lösning: Eftersom summan av tre vinklar är lika med 180 °, därför \(\angle x = 180 - 70- 45 = 65\)

triangel