Back to the topics list

التشابه في المثلثات

التشابه بين الأرقام

يقال عن شكلين أنهما متشابهان إذا كان لهما نفس الشكل ولكن ليس بالضرورة نفس الحجم. توضح الأشكال التالية دوائر ومثلثات متشابهة.

تشابه المثلثين: يقال عن مثلثان أنهما متشابهان إذا كانت زوايا أحدهما الثلاثة مساوية على التوالي لزوايا المثلث الآخر الثلاثة وكانت جميع النسب بين قياسات الأضلاع المتناظرة متساوية.

وفقًا للتعريف، يكون المثلث ABC مشابهًا للمثلث PQR، \(\triangle ABC \sim \triangle PQR\) إذا كان:

1. \(\displaystyle \frac{a}{p} = \frac{b}{q} = \frac{c}{r}\)
2. \(\displaystyle \angle A = \angle P, \angle B = \angle Q, \angle C = \angle R\)

لذا فإن تشابه المثلثات يتطلب أمرين:

• الزوايا المتناظرة يجب أن تكون متساوية
• يجب أن تكون الأضلاع المقابلة متناسبة

ثلاثة اختبارات لتشابه المثلثات

1. زاوية-زاوية-زاوية ( \(AAA\) ) بديهية التشابه

إذا كان لمثلثين زوجان من الزوايا متساويان، فإن أضلاعهما المتناظرة متناسبة. في المثلث ABC و \(DEF\) ، \(\displaystyle \angle A = \angle D, \angle B = \angle E, \angle C = \angle F\) ، إذن \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) ، أي
\(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\)

2. بديهية التشابه الضلع-الزاوية-الضلع ( \(SAS\) )

إذا كان لمثلثين زوج من الزوايا المتناظرة متساوية والأضلاع التي تتضمنها متناسبة، فإن المثلثين متشابهان.

إذا كان في المثلث ABC و \(DEF\) ، \(\angle A = \angle D\) و \(\frac{AB} { DE} = \frac{AC}{DF}\) ثم \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)

3. بديهية التشابه جانب-جانب-جانب ( \(SSS\) )

إذا كان لمثلثين أزواج من الأضلاع المتناظرة متناسبة، فإن المثلثين متشابهان. إذا كان لمثلثين ABC و \(DEF\) ، \(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\) فإن \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)

نظرية 1

الخط المستقيم المرسوم موازيًا لضلع واحد من مثلث يقسم الضلعين الآخرين بشكل متناسب. وعلى العكس من ذلك، إذا قسم خط أي ضلعين من مثلث بشكل متناسب، فإن الخط يكون موازيًا للضلع الثالث.

في \(\triangle ABC, \ DE \parallel BC\) إذن

\(\displaystyle \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)

نظرية 2

مساحات المثلثات المتشابهة تتناسب مع مساحة المربعات الواقعة على الأضلاع المقابلة لها.

\(\displaystyle \frac{\textrm{منطقة }\triangle ABC}{\textrm{منطقة }\triangle DEF} = \) \(\displaystyle \frac{BC^2}{EF^2} = \frac{AB^2}{DE^2}= \frac{AC^2}{DF^2}\)

المثال 1: في \(\triangle ABC, PQ \parallel BC\) . إذا كان AP/ \(PB\) = 1/2 وAQ = 2 سم، فأوجد QC.

وبما أن PQ موازية لـ BC، فإن
\(\displaystyle \frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}\)

\(\displaystyle\frac{1}{2} = \frac{2}{QC}\) ⇒ \(\displaystyle QC = 2 \times 2 = 4\)

المثال 2: المثلثان \(\triangle ABD, \triangle ACD \) متشابهان. BD = 2 سم وAB = 3 سم. إذا كانت مساحة المثلث \(\triangle ABD \) 2 سم ² ، فاحسب مساحة \( \triangle ACD \) .

\(\displaystyle \frac{\textrm{منطقة }\triangle ABD}{\textrm{منطقة }\triangle ADC} = \frac{4}{DC^2} = \frac{9}{AC^2}\)

\( \frac{2}{\textrm{مساحة }\triangle ADC} = \frac{4}{9}\)

\(\textrm{مساحة }\triangle ADC = \frac{2 \times 9}{4} = 4.5 cm^2\)