Ähnlichkeiten zwischen Figuren
Zwei Figuren heißen ähnlich, wenn sie die gleiche Form, aber nicht unbedingt die gleiche Größe haben. Die folgenden Figuren zeigen ähnliche Kreise und ähnliche Dreiecke.
Ähnlichkeit von Dreiecken: Zwei Dreiecke, bei denen die drei Winkel des einen Dreiecks jeweils gleich den drei Winkeln des anderen Dreiecks sind und alle Verhältnisse zwischen den Maßen der entsprechenden Seiten gleich sind, werden als ähnlich bezeichnet.
Gemäß der Definition ist das Dreieck ABC dem Dreieck PQR ähnlich, \(\triangle ABC \sim \triangle PQR\) wenn:
Die Ähnlichkeit von Dreiecken erfordert also zwei Dinge:
1. Winkel-Winkel-Winkel ( \(AAA\) ) ÄHNLICHKEITSAXIOM
Wenn zwei Dreiecke zwei Paare gleicher Winkel haben, sind ihre entsprechenden Seiten proportional. Im Dreieck ABC und \(DEF\) \(\displaystyle \angle A = \angle D, \angle B = \angle E, \angle C = \angle F\) , dann gilt \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) , das heißt
\(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\)
2. Seite-Winkel-Seite ( \(SAS\) ) ÄHNLICHKEITSAXIOM
Wenn bei zwei Dreiecken die entsprechenden Winkel gleich groß sind und die Seiten einschließlich dieser Winkel proportional sind, dann sind die Dreiecke ähnlich.
Wenn im Dreieck ABC und \(DEF\)
3. Seite-Seite-Seite ( \(SSS\) ) AXIOM DER ÄHNLICHKEIT
Wenn die entsprechenden Seitenpaare zweier Dreiecke proportional sind, sind die Dreiecke ähnlich. Wenn zwei Dreiecke ABC und \(DEF\) , \(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\) dann \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)
Eine gerade Linie, die parallel zu einer Seite eines Dreiecks gezogen wird, teilt die beiden anderen Seiten proportional. Umgekehrt ist eine Linie, die zwei beliebige Seiten eines Dreiecks proportional teilt, parallel zur dritten Seite.
Im \(\triangle ABC, \ DE \parallel BC\) dann
\(\displaystyle \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)
Die Flächen ähnlicher Dreiecke sind proportional zu den Quadraten auf den entsprechenden Seiten.
\(\displaystyle \frac{\textrm{Bereich von }\triangle ABC}{\textrm{Bereich von }\triangle DEF} = \) \(\displaystyle \frac{BC^2}{EF^2} = \frac{AB^2}{DE^2}= \frac{AC^2}{DF^2}\)
Beispiel 1: Im \(\triangle ABC, PQ \parallel BC\) . Wenn AP/ \(PB\) = 1/2 und AQ = 2 cm. Finden Sie QC.
Da PQ parallel zu BC ist, gilt
\(\displaystyle \frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}\)
\(\displaystyle\frac{1}{2} = \frac{2}{QC}\) ⇒ \(\displaystyle QC = 2 \times 2 = 4\)
Beispiel 2: Dreieck \(\triangle ABD, \triangle ACD \) sind ähnlich. BD = 2 cm und AB = 3 cm. Wenn die Fläche des Dreiecks \(\triangle ABD \) 2 cm 2 beträgt, berechnen Sie die Fläche von \( \triangle ACD \) .
\(\displaystyle \frac{\textrm{Bereich von }\triangle ABD}{\textrm{Bereich von }\triangle ADC} = \frac{4}{DC^2} = \frac{9}{AC^2}\)
\( \frac{2}{\textrm{Fläche von }\triangle ADC} = \frac{4}{9}\)
\(\textrm{Fläche von }\triangle ADC = \frac{2 \times 9}{4} = 4.5 cm^2\)
