Similitudes entre figuras
Se dice que dos figuras son semejantes si tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño. Las siguientes figuras muestran círculos y triángulos semejantes.
Semejanza de Triángulos: Dos triángulos que tienen los tres ángulos de un triángulo iguales respectivamente a los tres ángulos del otro triángulo y todas las razones entre las medidas de los lados correspondientes iguales se dicen que son semejantes.
Según la definición, el triángulo ABC es semejante al triángulo PQR, \(\triangle ABC \sim \triangle PQR\) si:
Entonces, la semejanza de triángulos requiere dos cosas:
1. AXIOMA DE SEMEJANZA Ángulo-Ángulo-Ángulo ( \(AAA\) )
Si dos triángulos tienen dos pares de ángulos iguales, sus lados correspondientes son proporcionales. En el triángulo ABC y \(DEF\) , \(\displaystyle \angle A = \angle D, \angle B = \angle E, \angle C = \angle F\) , entonces \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) , es decir
\(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\)
2. AXIOMA DE SIMILARIDAD Lado-Ángulo-Lado ( \(SAS\) )
Si dos triángulos tienen un par de ángulos correspondientes iguales y los lados que los incluyen son proporcionales, entonces los triángulos son similares.
Si en el triángulo ABC y \(DEF\)
3. AXIOMA DE SIMILARIDAD Lado-Lado-Lado ( \(SSS\) )
Si dos triángulos tienen sus pares de lados correspondientes proporcionales, entonces los triángulos son semejantes. Si dos triángulos ABC y \(DEF\) , \(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\) entonces \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)
Una línea recta trazada paralela a un lado de un triángulo divide los otros dos lados proporcionalmente. A la inversa, si una línea divide dos lados cualesquiera de un triángulo proporcionalmente, entonces la línea es paralela al tercer lado.
En \(\triangle ABC, \ DE \parallel BC\) entonces
\(\displaystyle \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)
Las áreas de triángulos semejantes son proporcionales a los cuadrados de los lados correspondientes.
\(\displaystyle \frac{\textrm{Área de }\triangle ABC}{\textrm{Área de }\triangle DEF} = \) \(\displaystyle \frac{BC^2}{EF^2} = \frac{AB^2}{DE^2}= \frac{AC^2}{DF^2}\)
Ejemplo 1: En \(\triangle ABC, PQ \parallel BC\) . Si AP/ \(PB\) = 1/2 y AQ = 2 cm, hallar QC.
Como PQ es paralelo a BC, por lo tanto
\(\displaystyle \frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}\)
\(\displaystyle\frac{1}{2} = \frac{2}{QC}\) ⇒ \(\displaystyle QC = 2 \times 2 = 4\)
Ejemplo 2: Los triángulos \(\triangle ABD, \triangle ACD \) son semejantes. BD = 2 cm y AB = 3 cm. Si el área del triángulo \(\triangle ABD \) es 2 cm 2 , calcula el área de \( \triangle ACD \) .
\(\displaystyle \frac{\textrm{Área de }\triangle ABD}{\textrm{Área de }\triangle ADC} = \frac{4}{DC^2} = \frac{9}{AC^2}\)
\( \frac{2}{\textrm{Área de }\triangle ADC} = \frac{4}{9}\)
\(\textrm{Área de }\triangle ADC = \frac{2 \times 9}{4} = 4.5 cm^2\)
