Back to the topics list

شباهت در مثلث ها

شباهت های بین شکل ها

به دو شکل گفته می شود که اگر شکل یکسانی داشته باشند اما لزوماً اندازه آنها یکسان نباشد. شکل های زیر دایره های مشابه و مثلث های مشابه را نشان می دهند.

تشابه مثلث ها: به دو مثلث که سه زاویه یک مثلث با سه زاویه مثلث دیگر مساوی است و تمام نسبت های بین اندازه اضلاع متناظر با هم مساوی هستند شبیه هم می گویند.

طبق تعریف، مثلث ABC شبیه مثلث PQR است، \(\triangle ABC \sim \triangle PQR\) اگر:

1. \(\displaystyle \frac{a}{p} = \frac{b}{q} = \frac{c}{r}\)
2. \(\displaystyle \angle A = \angle P, \angle B = \angle Q, \angle C = \angle R\)

بنابراین، تشابه مثلث ها مستلزم دو چیز است:

• زوایای مربوطه باید برابر باشند
• طرف های مربوطه باید متناسب باشند

سه تست برای تشابه مثلث ها

1. Angle-Angle-Angle ( \(AAA\) ) AXIOM OF SIMILARITY

اگر دو مثلث دارای دو جفت زاویه مساوی باشند، اضلاع متناظر آنها متناسب است. در مثلث ABC و \(DEF\) ، \(\displaystyle \angle A = \angle D, \angle B = \angle E, \angle C = \angle F\) و سپس \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) ، یعنی
\(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\)

2. Side-Angle-Side ( \(SAS\) ) AXIOM OF SIMILARITY

اگر دو مثلث دارای یک جفت زاویه متناظر با هم باشند و اضلاع با احتساب آنها متناسب باشند، مثلث ها شبیه هم هستند.

اگر در مثلث ABC و \(DEF\) ، \(\angle A = \angle D\) و \(\frac{AB} { DE} = \frac{AC}{DF}\) سپس \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)

3. Side-Side-Side ( \(SSS\) ) AXIOM OF SIMILARITY

اگر دو مثلث دارای جفت ضلع متناظر با هم باشند، مثلث ها شبیه هم هستند. اگر دو مثلث ABC و \(DEF\) , \(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\) پس \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)

قضیه 1

یک خط مستقیم که به موازات یک ضلع مثلث کشیده شده است، دو ضلع دیگر را به طور متناسب تقسیم می کند. برعکس، اگر خطی هر دو ضلع مثلث را به طور متناسب تقسیم کند، آن خط با ضلع سوم موازی است.

سپس در \(\triangle ABC, \ DE \parallel BC\)

\(\displaystyle \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)

قضیه 2

مساحت مثلث های مشابه با مربع های اضلاع مربوطه متناسب است.

\(\displaystyle \frac{\textrm{منطقه از }\triangle ABC}{\textrm{منطقه از }\triangle DEF} = \) \(\displaystyle \frac{BC^2}{EF^2} = \frac{AB^2}{DE^2}= \frac{AC^2}{DF^2}\)

مثال 1: در \(\triangle ABC, PQ \parallel BC\) . اگر AP/ \(PB\) = 1/2 و AQ = 2 سانتی متر. QC را پیدا کنید.

از آنجایی که PQ موازی با BC است، بنابراین
\(\displaystyle \frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}\)

\(\displaystyle\frac{1}{2} = \frac{2}{QC}\) ⇒ \(\displaystyle QC = 2 \times 2 = 4\)

مثال 2: مثلث \(\triangle ABD, \triangle ACD \) مشابه هستند. BD = 2 سانتی متر و AB = 3 سانتی متر. اگر مساحت مثلث \(\triangle ABD \) 2 سانتی متر ^مربع است، مساحت \( \triangle ACD \) را محاسبه کنید.

\(\displaystyle \frac{\textrm{منطقه از }\triangle ABD}{\textrm{منطقه از }\triangle ADC} = \frac{4}{DC^2} = \frac{9}{AC^2}\)

\( \frac{2}{\textrm{منطقه از }\triangle ADC} = \frac{4}{9}\)

\(\textrm{منطقه از }\triangle ADC = \frac{2 \times 9}{4} = 4.5 cm^2\)