Similitudes entre les figures
Deux figures sont dites semblables si elles ont la même forme mais pas nécessairement la même taille. Les figures suivantes montrent des cercles semblables et des triangles semblables.
Similarité des triangles : Deux triangles dont les trois angles d'un triangle sont respectivement égaux aux trois angles de l'autre triangle et dont tous les rapports entre les mesures des côtés correspondants sont égaux sont dits semblables.
Selon la définition, le triangle ABC est semblable au triangle PQR , \(\triangle ABC \sim \triangle PQR\) si :
Ainsi, la similitude des triangles nécessite deux choses :
1. Angle-Angle-Angle ( \(AAA\) ) AXIOME DE SIMILARITÉ
Si deux triangles ont deux paires d'angles égaux, leurs côtés correspondants sont proportionnels. Dans le triangle ABC et \(DEF\) , \(\displaystyle \angle A = \angle D, \angle B = \angle E, \angle C = \angle F\) , alors \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) , c'est-à-dire
\(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\)
2. AXIOME DE SIMILARITÉ Côté-Angle-Côté ( \(SAS\) )
Si deux triangles ont une paire d'angles correspondants égaux et des côtés, les incluant, proportionnels, alors les triangles sont semblables.
Si dans le triangle ABC et \(DEF\)
3. Côte-Côte-Côte ( \(SSS\) ) AXIOME DE SIMILARITÉ
Si deux triangles ont leurs paires de côtés correspondants proportionnelles alors les triangles sont semblables. Si deux triangles ABC et \(DEF\) , \(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\) alors \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)
Une ligne droite tracée parallèlement à un côté d'un triangle divise les deux autres côtés proportionnellement. Inversement, si une ligne divise proportionnellement deux côtés d'un triangle, alors la ligne est parallèle au troisième côté.
Dans \(\triangle ABC, \ DE \parallel BC\) alors
\(\displaystyle \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)
Les aires des triangles semblables sont proportionnelles aux carrés des côtés correspondants.
\(\displaystyle \frac{\textrm{superficie de }\triangle ABC}{\textrm{superficie de }\triangle DEF} = \) \(\displaystyle \frac{BC^2}{EF^2} = \frac{AB^2}{DE^2}= \frac{AC^2}{DF^2}\)
Exemple 1 : Dans \(\triangle ABC, PQ \parallel BC\) . Si AP/ \(PB\) = 1/2 et AQ = 2 cm. Trouver QC.
Comme PQ est parallèle à BC, donc
\(\displaystyle \frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}\)
\(\displaystyle\frac{1}{2} = \frac{2}{QC}\) ⇒ \(\displaystyle QC = 2 \times 2 = 4\)
Exemple 2 : Les triangles \(\triangle ABD, \triangle ACD \) sont semblables. BD = 2 cm et AB = 3 cm. Si l'aire du triangle \(\triangle ABD \) est de 2 cm 2 , calculer l'aire de \( \triangle ACD \) .
\(\displaystyle \frac{\textrm{superficie de }\triangle ABD}{\textrm{superficie de }\triangle ADC} = \frac{4}{DC^2} = \frac{9}{AC^2}\)
\( \frac{2}{\textrm{Superficie de }\triangle ADC} = \frac{4}{9}\)
\(\textrm{Superficie de }\triangle ADC = \frac{2 \times 9}{4} = 4.5 cm^2\)
