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त्रिभुजों में समानता

आंकड़ों के बीच समानताएं

दो आकृतियों को समान कहा जाता है यदि उनका आकार समान हो लेकिन जरूरी नहीं कि उनका आकार भी समान हो। निम्नलिखित आकृतियाँ समान वृत्त और समान त्रिभुज दिखाती हैं।

त्रिभुजों की समानता: दो त्रिभुज जिनमें एक त्रिभुज के तीन कोण क्रमशः दूसरे त्रिभुज के तीन कोणों के बराबर होते हैं तथा संगत भुजाओं के माप के बीच के सभी अनुपात समान होते हैं, समरूप कहलाते हैं।

परिभाषा के अनुसार, त्रिभुज ABC त्रिभुज PQR के समरूप है, \(\triangle ABC \sim \triangle PQR\) यदि:

1. \(\displaystyle \frac{a}{p} = \frac{b}{q} = \frac{c}{r}\)
2. \(\displaystyle \angle A = \angle P, \angle B = \angle Q, \angle C = \angle R\)

अतः त्रिभुजों की समानता के लिए दो चीजों की आवश्यकता होती है:

• संगत कोण बराबर होने चाहिए
• संगत भुजाएँ समानुपातिक होनी चाहिए

त्रिभुजों की समानता के लिए तीन परीक्षण

1. कोण-कोण-कोण ( \(AAA\) ) समानता का स्वयंसिद्ध

यदि दो त्रिभुजों के दो कोण बराबर हों, तो उनकी संगत भुजाएँ समानुपातिक होती हैं। त्रिभुज ABC और \(DEF\) में, \(\displaystyle \angle A = \angle D, \angle B = \angle E, \angle C = \angle F\) , तो \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) , अर्थात
\(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\)

2. भुजा-कोण-भुजा ( \(SAS\) ) समानता का स्वयंसिद्ध

यदि दो त्रिभुजों के संगत कोणों की जोड़ी बराबर हो तथा उन्हें सम्मिलित करने वाली भुजाएँ समानुपातिक हों तो त्रिभुज समरूप होते हैं।

यदि त्रिभुज ABC और \(DEF\) में , \(\angle A = \angle D\) और \(\frac{AB} { DE} = \frac{AC}{DF}\) तो \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)

3. साइड-साइड-साइड ( \(SSS\) ) समानता का स्वयंसिद्ध

यदि दो त्रिभुजों की संगत भुजाओं के युग्म समानुपातिक हों तो त्रिभुज समरूप होते हैं। यदि दो त्रिभुज ABC और \(DEF\) , \(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\) हैं तो \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)

प्रमेय १

त्रिभुज की एक भुजा के समानांतर खींची गई सीधी रेखा अन्य दो भुजाओं को आनुपातिक रूप से विभाजित करती है। इसके विपरीत, यदि कोई रेखा त्रिभुज की किसी भी दो भुजाओं को आनुपातिक रूप से विभाजित करती है, तो वह रेखा तीसरी भुजा के समानांतर होती है।

\(\triangle ABC, \ DE \parallel BC\) में, तब

\(\displaystyle \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)

प्रमेय 2

समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल संगत भुजाओं पर बने वर्गों के समानुपाती होते हैं।

\(\displaystyle \frac{\textrm{का क्षेत्र }\triangle ABC}{\textrm{का क्षेत्र }\triangle DEF} = \) \(\displaystyle \frac{BC^2}{EF^2} = \frac{AB^2}{DE^2}= \frac{AC^2}{DF^2}\)

उदाहरण 1: \(\triangle ABC, PQ \parallel BC\) में। यदि AP/ \(PB\) = 1/2 और AQ = 2 सेमी। QC ज्ञात कीजिए।

चूँकि PQ, BC के समांतर है, इसलिए
\(\displaystyle \frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}\)

\(\displaystyle\frac{1}{2} = \frac{2}{QC}\) ⇒ \(\displaystyle QC = 2 \times 2 = 4\)

उदाहरण 2: त्रिभुज \(\triangle ABD, \triangle ACD \) समरूप हैं। BD = 2 सेमी और AB = 3 सेमी। यदि त्रिभुज \(\triangle ABD \) का क्षेत्रफल 2 सेमी ² है, \( \triangle ACD \) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

\(\displaystyle \frac{\textrm{का क्षेत्र }\triangle ABD}{\textrm{का क्षेत्र }\triangle ADC} = \frac{4}{DC^2} = \frac{9}{AC^2}\)

\( \frac{2}{\textrm{क्षेत्रफल }\triangle ADC} = \frac{4}{9}\)

\(\textrm{क्षेत्रफल }\triangle ADC = \frac{2 \times 9}{4} = 4.5 cm^2\)