Back to the topics list

sličnost u trokutima

Sličnosti između figura

Kaže se da su dvije figure slične ako imaju isti oblik, ali ne nužno i istu veličinu. Sljedeće slike prikazuju slične krugove i slične trokute.

Sličnost trokuta: Za dva trokuta čija su tri kuta jednog trokuta jednaka trima kutovima drugog trokuta i svi omjeri između mjera odgovarajućih stranica jednaki, kaže se da su slični.

Prema definiciji, trokut ABC sličan je trokutu PQR , \(\triangle ABC \sim \triangle PQR\) ako:

1. \(\displaystyle \frac{a}{p} = \frac{b}{q} = \frac{c}{r}\)
2. \(\displaystyle \angle A = \angle P, \angle B = \angle Q, \angle C = \angle R\)

Dakle, sličnost trokuta zahtijeva dvije stvari:

• Odgovarajući kutovi moraju biti jednaki
• Odgovarajuće stranice moraju biti proporcionalne

TRI TESTA SLIČNOSTI TROKUTA

1. Kut-Kut-Kut ( \(AAA\) ) AKSIOM SLIČNOSTI

Ako dva trokuta imaju dva para jednakih kutova, odgovarajuće su im stranice proporcionalne. U trokutu ABC i \(DEF\) , \(\displaystyle \angle A = \angle D, \angle B = \angle E, \angle C = \angle F\) , zatim \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) , tj
\(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\)

2. Strana-Kut-Strana ( \(SAS\) ) AKSIOM SLIČNOSTI

Ako dva trokuta imaju par odgovarajućih jednakih kutova, a strane uključujući i njih proporcionalne, tada su trokuti slični.

Ako je u trokutu ABC i \(DEF\) , \(\angle A = \angle D\) i \(\frac{AB} { DE} = \frac{AC}{DF}\) zatim \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)

3. Strana-strana-strana ( \(SSS\) ) AKSIOM SLIČNOSTI

Ako dva trokuta imaju parove odgovarajućih stranica proporcionalne, onda su trokuti slični. Ako su dva trokuta ABC i \(DEF\) , \(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\) tada \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)

Teorem 1

Ravna crta povučena paralelno s jednom stranom trokuta razmjerno dijeli druge dvije stranice. Obrnuto, ako pravac proporcionalno dijeli bilo koje dvije stranice trokuta tada je pravac paralelan s trećom stranicom.

U \(\triangle ABC, \ DE \parallel BC\) tada

\(\displaystyle \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)

Teorem 2

Površine sličnih trokuta proporcionalne su kvadratima odgovarajućih stranica.

\(\displaystyle \frac{\textrm{područje od }\triangle ABC}{\textrm{područje od }\triangle DEF} = \) \(\displaystyle \frac{BC^2}{EF^2} = \frac{AB^2}{DE^2}= \frac{AC^2}{DF^2}\)

Primjer 1: U \(\triangle ABC, PQ \parallel BC\) . Ako je AP/ \(PB\) = 1/2 i AQ = 2 cm. Pronađite QC.

Kako je PQ paralelan s BC, dakle
\(\displaystyle \frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}\)

\(\displaystyle\frac{1}{2} = \frac{2}{QC}\) ⇒ \(\displaystyle QC = 2 \times 2 = 4\)

Primjer 2: Trokut \(\triangle ABD, \triangle ACD \) su slični. BD = 2 cm i AB = 3 cm. Ako je površina trokuta \(\triangle ABD \) 2 cm ² , izračunajte površinu \( \triangle ACD \) .

\(\displaystyle \frac{\textrm{područje od }\triangle ABD}{\textrm{područje od }\triangle ADC} = \frac{4}{DC^2} = \frac{9}{AC^2}\)

\( \frac{2}{\textrm{Područje od }\triangle ADC} = \frac{4}{9}\)

\(\textrm{Područje od }\triangle ADC = \frac{2 \times 9}{4} = 4.5 cm^2\)