Somiglianze tra le figure
Due figure si dicono simili se hanno la stessa forma ma non necessariamente le stesse dimensioni. Le figure seguenti mostrano cerchi simili e triangoli simili.
Somiglianza dei triangoli: due triangoli che hanno i tre angoli di uno uguali rispettivamente ai tre angoli dell'altro triangolo e tutti i rapporti tra le misure dei lati corrispondenti uguali si dicono simili.
Secondo la definizione, il triangolo ABC è simile al triangolo PQR , \(\triangle ABC \sim \triangle PQR\) se:
Quindi, la somiglianza dei triangoli richiede due cose:
1. Angolo-Angolo-Angolo ( \(AAA\) ) ASSIOMA DI SOMIGLIANZA
Se due triangoli hanno due coppie di angoli uguali, i loro lati corrispondenti sono proporzionali. Nel triangolo ABC e \(DEF\) , \(\displaystyle \angle A = \angle D, \angle B = \angle E, \angle C = \angle F\) , allora \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) , cioè
\(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\)
2. Lato-Angolo-Lato ( \(SAS\) ) ASSIOMA DI SOMIGLIANZA
Se due triangoli hanno una coppia di angoli corrispondenti uguali e i lati che li comprendono sono proporzionali, allora i triangoli sono simili.
Se nel triangolo ABC e \(DEF\)
3. Lato-Lato-Lato ( \(SSS\) ) ASSIOMA DI SOMIGLIANZA
Se due triangoli hanno le loro coppie di lati corrispondenti proporzionali, allora i triangoli sono simili. Se due triangoli ABC e \(DEF\) , \(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\) allora \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)
Una linea retta tracciata parallelamente a un lato di un triangolo divide gli altri due lati proporzionalmente. Al contrario, se una linea divide due lati qualsiasi di un triangolo proporzionalmente, allora la linea è parallela al terzo lato.
Nel \(\triangle ABC, \ DE \parallel BC\) allora
\(\displaystyle \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)
Le aree dei triangoli simili sono proporzionali ai quadrati dei lati corrispondenti.
\(\displaystyle \frac{\textrm{area di }\triangle ABC}{\textrm{area di }\triangle DEF} = \) \(\displaystyle \frac{BC^2}{EF^2} = \frac{AB^2}{DE^2}= \frac{AC^2}{DF^2}\)
Esempio 1: Nel \(\triangle ABC, PQ \parallel BC\) . Se AP/ \(PB\) = 1/2 e AQ = 2 cm, trovare QC.
Poiché PQ è parallelo a BC, quindi
\(\displaystyle \frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}\)
\(\displaystyle\frac{1}{2} = \frac{2}{QC}\) ⇒ \(\displaystyle QC = 2 \times 2 = 4\)
Esempio 2: Il triangolo \(\triangle ABD, \triangle ACD \) sono simili. BD = 2 cm e AB = 3 cm. Se l'area del triangolo \(\triangle ABD \) è 2 cm 2 , calcola l'area di \( \triangle ACD \) .
\(\displaystyle \frac{\textrm{area di }\triangle ABD}{\textrm{area di }\triangle ADC} = \frac{4}{DC^2} = \frac{9}{AC^2}\)
\( \frac{2}{\textrm{Area di }\triangle ADC} = \frac{4}{9}\)
\(\textrm{Area di }\triangle ADC = \frac{2 \times 9}{4} = 4.5 cm^2\)
