人物間の類似点
2 つの図形は、必ずしも大きさが同じである必要はなく、形が同じである場合に相似であると言われます。次の図は相似な円と相似な三角形を示しています。
三角形の相似: 1 つの三角形の 3 つの角度がそれぞれ他の三角形の 3 つの角度と等しく、対応する辺の長さの比がすべて等しい 2 つの三角形は相似であると言われます。
定義によれば、三角形 ABC は三角形 PQR と相似であり、 \(\triangle ABC \sim \triangle PQR\)となるのは、次の場合です。
したがって、三角形の相似性には次の 2 つの条件が必要です。
1. 角-角-角 ( \(AAA\) )相似公理
2つの三角形の2組の角度が等しい場合、対応する辺は比例します。三角形ABCと\(DEF\)では、 \(\displaystyle \angle A = \angle D, \angle B = \angle E, \angle C = \angle F\)なので、 \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) 、つまり
\(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\)
2. 辺-角-辺 ( \(SAS\) ) 相似公理
2 つの三角形の対応する角度が等しく、その角度を含む辺が比例している場合、それらの三角形は相似です。
三角形ABCと\(DEF\)の場合
3. サイドサイドサイド ( \(SSS\) ) 相似公理
2 つの三角形の対応する辺のペアが比例している場合、それらの三角形は相似です。2 つの三角形 ABC と\(DEF\) 、 \(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\)の場合、 \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)
三角形の 1 辺に平行に引かれた直線は、他の 2 辺を比例的に分割します。逆に、三角形の任意の 2 辺を比例的に分割する線は、3 番目の辺と平行です。
\(\triangle ABC, \ DE \parallel BC\)では
\(\displaystyle \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)
相似三角形の面積は、対応する辺の正方形の面積に比例します。
\(\displaystyle \frac{\textrm{の面積 }\triangle ABC}{\textrm{の面積 }\triangle DEF} = \) \(\displaystyle \frac{BC^2}{EF^2} = \frac{AB^2}{DE^2}= \frac{AC^2}{DF^2}\)
例 1: \(\triangle ABC, PQ \parallel BC\)において、 AP/ \(PB\) = 1/2 かつ AQ = 2 cm の場合、 QC を求めます。
PQはBCに平行なので、
\(\displaystyle \frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}\)
\(\displaystyle\frac{1}{2} = \frac{2}{QC}\) ⇒ \(\displaystyle QC = 2 \times 2 = 4\)
例 2:三角形\(\triangle ABD, \triangle ACD \)は相似です。BD = 2 cm、AB = 3 cm です。三角形\(\triangle ABD \)の面積が 2 cm 2の場合、 \( \triangle ACD \)の面積を計算します。
\(\displaystyle \frac{\textrm{の面積 }\triangle ABD}{\textrm{の面積 }\triangle ADC} = \frac{4}{DC^2} = \frac{9}{AC^2}\)
\( \frac{2}{\textrm{面積 }\triangle ADC} = \frac{4}{9}\)
\(\textrm{面積 }\triangle ADC = \frac{2 \times 9}{4} = 4.5 cm^2\)
