Back to the topics list

сличност во триаголниците

Сличности меѓу фигурите

За две фигури се вели дека се слични ако имаат иста форма, но не мора иста големина. Следните слики покажуваат слични кругови и слични триаголници.

Сличност на триаголниците: Два триаголници кои имаат три агли на еден триаголник еднакви соодветно на трите агли на другиот триаголник и сите соодноси помеѓу мерката на соодветните страни еднакви се вели дека се слични.

Според дефиницијата, триаголникот ABC е сличен на триаголникот PQR , \(\triangle ABC \sim \triangle PQR\) ако:

1. \(\displaystyle \frac{a}{p} = \frac{b}{q} = \frac{c}{r}\)
2. \(\displaystyle \angle A = \angle P, \angle B = \angle Q, \angle C = \angle R\)

Значи, сличноста на триаголниците бара две работи:

• Соодветните агли мора да бидат еднакви
• Соодветните страни мора да бидат пропорционални

ТРИ ТЕСТИ ЗА СЛИЧНОСТ НА ТРИАГОЛНИЦИТЕ

1. Агол-агол-агол ( \(AAA\) ) АКСИОМА НА СЛИЧНОСТ

Ако два триаголници имаат два пара агли еднакви, нивните соодветни страни се пропорционални. Во триаголникот ABC и \(DEF\) , \(\displaystyle \angle A = \angle D, \angle B = \angle E, \angle C = \angle F\) , потоа \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) , т.е
\(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\)

2. Странична-аголна-страна ( \(SAS\) ) АКСИОМА НА СЛИЧНОСТ

Ако два триаголници имаат пар соодветни агли еднакви и страните вклучувајќи ги пропорционални, тогаш триаголниците се слични.

Ако во триаголник ABC и \(DEF\) , \(\angle A = \angle D\) и \(\frac{AB} { DE} = \frac{AC}{DF}\) потоа \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)

3. Страна-страна-страна ( \(SSS\) ) АКСИОМА НА СЛИЧНОСТ

Ако два триаголници имаат парови на соодветни страни пропорционални, тогаш триаголниците се слични. Ако два триаголници ABC и \(DEF\) , \(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\) тогаш \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)

Теорема 1

Права линија повлечена паралелно со едната страна на триаголникот ги дели другите две страни пропорционално. Спротивно на тоа, ако правата пропорционално ги дели двете страни на триаголникот, тогаш правата е паралелна со третата страна.

Во \(\triangle ABC, \ DE \parallel BC\) тогаш

\(\displaystyle \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)

Теорема 2

Областите на слични триаголници се пропорционални со квадратите на соодветните страни.

\(\displaystyle \frac{\textrm{областа на }\triangle ABC}{\textrm{областа на }\triangle DEF} = \) \(\displaystyle \frac{BC^2}{EF^2} = \frac{AB^2}{DE^2}= \frac{AC^2}{DF^2}\)

Пример 1: Во \(\triangle ABC, PQ \parallel BC\) . Ако AP/ \(PB\) = 1/2 и AQ = 2 cm. Најдете QC.

Затоа што PQ е паралелна со BC, затоа
\(\displaystyle \frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}\)

\(\displaystyle\frac{1}{2} = \frac{2}{QC}\) ⇒ \(\displaystyle QC = 2 \times 2 = 4\)

Пример 2: Триаголникот \(\triangle ABD, \triangle ACD \) се слични. BD = 2 cm и AB = 3 cm. Ако плоштината на триаголникот \(\triangle ABD \) е 2 cm ² , пресметајте ја плоштината на \( \triangle ACD \) .

\(\displaystyle \frac{\textrm{областа на }\triangle ABD}{\textrm{областа на }\triangle ADC} = \frac{4}{DC^2} = \frac{9}{AC^2}\)

\( \frac{2}{\textrm{Површина на }\triangle ADC} = \frac{4}{9}\)

\(\textrm{Површина на }\triangle ADC = \frac{2 \times 9}{4} = 4.5 cm^2\)