Back to the topics list

त्रिकोण मा समानता

आंकडाहरू बीच समानता

दुईवटा आकृतिहरू उस्तै भनिन्छ यदि तिनीहरूको आकार एउटै छ तर आवश्यक रूपमा समान आकार छैन। निम्न तथ्याङ्कहरूले समान वृत्तहरू र समान त्रिकोणहरू देखाउँछन्।

त्रिभुजको समानता: एउटा त्रिभुजका तीन कोणहरू क्रमशः अर्को त्रिभुजको तीन कोणसँग बराबर हुने दुईवटा त्रिभुजहरू र समरूपी भुजाहरू बीचको सबै अनुपातहरू बराबर हुने भनिन्छ।

परिभाषा अनुसार, त्रिभुज ABC त्रिभुज PQR जस्तै हो, \(\triangle ABC \sim \triangle PQR\) यदि:

1. \(\displaystyle \frac{a}{p} = \frac{b}{q} = \frac{c}{r}\)
2. \(\displaystyle \angle A = \angle P, \angle B = \angle Q, \angle C = \angle R\)

त्यसोभए, त्रिकोणहरूको समानतालाई दुई चीजहरू आवश्यक पर्दछ:

• सम्बन्धित कोणहरू बराबर हुनुपर्छ
• सम्बन्धित पक्षहरू समानुपातिक हुनुपर्छ

त्रिभुजको समानताका लागि तीनवटा परीक्षणहरू

1. कोण-कोण- कोण ( \(AAA\) ) समानताको Axiom

यदि दुई त्रिभुजमा दुई जोडी कोणहरू बराबर छन् भने, तिनीहरूका संगत पक्षहरू समानुपातिक हुन्छन्। त्रिभुज ABC र \(DEF\) मा , \(\displaystyle \angle A = \angle D, \angle B = \angle E, \angle C = \angle F\) , त्यसपछि \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) , त्यो हो
\(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\)

2. साइड-एंगल-साइड ( \(SAS\) ) समानताको Axiom

यदि दुई त्रिभुजमा समान कोणको जोडी बराबर र भुजाहरू समानुपातिक छन् भने त्रिभुजहरू समान हुन्छन्।

यदि त्रिकोण ABC र \(DEF\) मा , \(\angle A = \angle D\) र \(\frac{AB} { DE} = \frac{AC}{DF}\) त्यसपछि \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)

3. साइड-साइड-साइड ( \(SSS\) ) समानताको Axiom

यदि दुई त्रिभुजको समानुपातिक भुजाहरूको जोडी छ भने त्रिभुजहरू समान हुन्छन्। यदि दुई त्रिकोण ABC र \(DEF\) , \(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\) तब \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)

प्रमेय १

त्रिकोणको एक छेउमा समानान्तर कोरिएको सीधा रेखाले अन्य दुई पक्षहरूलाई समानुपातिक रूपमा विभाजित गर्दछ। यसको विपरीत, यदि रेखाले त्रिभुजको कुनै पनि दुई पक्षलाई समानुपातिक रूपमा विभाजित गर्छ भने रेखा तेस्रो पक्षको समानान्तर हुन्छ।

\(\triangle ABC, \ DE \parallel BC\) त्यसपछि

\(\displaystyle \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)

प्रमेय २

समान त्रिकोणका क्षेत्रहरू समानुपातिक पक्षहरूमा वर्गहरूसँग समानुपातिक हुन्छन्।

\(\displaystyle \frac{\textrm{को क्षेत्र }\triangle ABC}{\textrm{को क्षेत्र }\triangle DEF} = \) \(\displaystyle \frac{BC^2}{EF^2} = \frac{AB^2}{DE^2}= \frac{AC^2}{DF^2}\)

उदाहरण १: \(\triangle ABC, PQ \parallel BC\) मा। यदि AP/ \(PB\) = 1/2 र AQ = 2 सेमी। QC खोज्नुहोस्।

PQ BC को समानान्तर भएको हुनाले
\(\displaystyle \frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}\)

\(\displaystyle\frac{1}{2} = \frac{2}{QC}\) ⇒ \(\displaystyle QC = 2 \times 2 = 4\)

उदाहरण २: त्रिभुज \(\triangle ABD, \triangle ACD \) समान छन्। BD = 2 सेमी र AB = 3 सेमी। यदि त्रिभुज \(\triangle ABD \) को क्षेत्रफल 2 सेमी ² हो भने, \( \triangle ACD \) को क्षेत्रफल गणना गर्नुहोस्।

\(\displaystyle \frac{\textrm{को क्षेत्र }\triangle ABD}{\textrm{को क्षेत्र }\triangle ADC} = \frac{4}{DC^2} = \frac{9}{AC^2}\)

\( \frac{2}{\textrm{को क्षेत्र }\triangle ADC} = \frac{4}{9}\)

\(\textrm{को क्षेत्र }\triangle ADC = \frac{2 \times 9}{4} = 4.5 cm^2\)