Overeenkomsten tussen figuren
Twee figuren worden gelijkvormig genoemd als ze dezelfde vorm hebben, maar niet noodzakelijkerwijs dezelfde grootte. De volgende figuren tonen gelijke cirkels en gelijke driehoeken.
Gelijkenis van driehoeken: Twee driehoeken waarvan de drie hoeken van de ene driehoek respectievelijk gelijk zijn aan de drie hoeken van de andere driehoek en waarvan alle verhoudingen tussen de overeenkomstige zijden gelijk zijn, worden gelijkvormig genoemd.
Volgens de definitie is driehoek ABC gelijkvormig aan driehoek PQR, \(\triangle ABC \sim \triangle PQR\) als:
De gelijkvormigheid van driehoeken vereist dus twee dingen:
1. Hoek-Hoek-Hoek ( \(AAA\) ) AXIOM VAN DE GELIJKENIS
Als twee driehoeken twee paren hoeken gelijk hebben, zijn hun corresponderende zijden evenredig. In driehoek ABC en \(DEF\) , \(\displaystyle \angle A = \angle D, \angle B = \angle E, \angle C = \angle F\) , dan is \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) , dat wil zeggen
\(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\)
2. Zij-hoek-zij ( \(SAS\) ) AXIOM VAN GELIJKENIS
Als twee driehoeken een paar overeenkomstige hoeken hebben die gelijk zijn en de zijden inclusief de hoeken evenredig zijn, dan zijn de driehoeken gelijkvormig.
Als in driehoek ABC en \(DEF\)
3. Zij-zij-zij ( \(SSS\) ) AXIOM VAN GELIJKENIS
Als twee driehoeken hun paren corresponderende zijden evenredig hebben, dan zijn de driehoeken gelijkvormig. Als twee driehoeken ABC en \(DEF\) , \(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\) dan \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)
Een rechte lijn die evenwijdig aan een zijde van een driehoek is getekend, verdeelt de andere twee zijden evenredig. Omgekeerd, als een lijn twee zijden van een driehoek evenredig verdeelt, dan is de lijn evenwijdig aan de derde zijde.
In \(\triangle ABC, \ DE \parallel BC\) dan
\(\displaystyle \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)
De oppervlaktes van gelijkvormige driehoeken zijn evenredig met de vierkanten op de overeenkomstige zijden.
\(\displaystyle \frac{\textrm{gebied van }\triangle ABC}{\textrm{gebied van }\triangle DEF} = \) \(\displaystyle \frac{BC^2}{EF^2} = \frac{AB^2}{DE^2}= \frac{AC^2}{DF^2}\)
Voorbeeld 1: In \(\triangle ABC, PQ \parallel BC\) . Als AP/ \(PB\) = 1/2 en AQ = 2 cm. Vind QC.
Omdat PQ evenwijdig is aan BC, dus
\(\displaystyle \frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}\)
\(\displaystyle\frac{1}{2} = \frac{2}{QC}\) ⇒ \(\displaystyle QC = 2 \times 2 = 4\)
Voorbeeld 2: Driehoek \(\triangle ABD, \triangle ACD \) zijn gelijkvormig. BD = 2 cm en AB = 3 cm. Als de oppervlakte van driehoek \(\triangle ABD \) 2 cm 2 is, bereken dan de oppervlakte van \( \triangle ACD \) .
\(\displaystyle \frac{\textrm{gebied van }\triangle ABD}{\textrm{gebied van }\triangle ADC} = \frac{4}{DC^2} = \frac{9}{AC^2}\)
\( \frac{2}{\textrm{Oppervlakte van }\triangle ADC} = \frac{4}{9}\)
\(\textrm{Oppervlakte van }\triangle ADC = \frac{2 \times 9}{4} = 4.5 cm^2\)
