Podobieństwa między figurami
Dwie figury są uważane za podobne, jeśli mają ten sam kształt, ale niekoniecznie ten sam rozmiar. Poniższe figury pokazują podobne okręgi i podobne trójkąty.
Podobieństwo trójkątów: Dwa trójkąty, w których trzy kąty jednego trójkąta są odpowiednio równe trzem kątom drugiego trójkąta, a wszystkie stosunki miar odpowiednich boków są równe, nazywamy podobnymi.
Zgodnie z definicją trójkąt ABC jest podobny do trójkąta PQR, \(\triangle ABC \sim \triangle PQR\) jeżeli:
Tak więc, aby stwierdzić podobieństwo trójkątów, konieczne są dwa elementy:
1. Kąt-Kąt-Kąt ( \(AAA\) ) AKSIOM PODOBIEŃSTWA
Jeżeli dwa trójkąty mają dwie pary równych kątów, ich odpowiadające sobie boki są proporcjonalne. W trójkącie ABC i \(DEF\) , \(\displaystyle \angle A = \angle D, \angle B = \angle E, \angle C = \angle F\) , wtedy \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) , czyli
\(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\)
2. Bok-Kąt-Bok ( \(SAS\) ) AKSOMAT PODOBIEŃSTWA
Jeżeli dwa trójkąty mają parę odpowiadających im kątów równych i boki zawierające je są proporcjonalne, to trójkąty te są podobne.
Jeśli w trójkącie ABC i \(DEF\)
3. Aksjomat podobieństwa bok-bok-bok ( \(SSS\) )
Jeśli dwa trójkąty mają pary odpowiadających sobie boków proporcjonalne, to trójkąty są podobne. Jeśli dwa trójkąty ABC i \(DEF\) , \(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\) wtedy \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)
Prosta linia narysowana równolegle do jednego boku trójkąta dzieli pozostałe dwa boki proporcjonalnie. Odwrotnie, jeśli linia dzieli dowolne dwa boki trójkąta proporcjonalnie, to linia jest równoległa do trzeciego boku.
W \(\triangle ABC, \ DE \parallel BC\) wtedy
\(\displaystyle \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)
Pola trójkątów podobnych są proporcjonalne do kwadratów znajdujących się na odpowiednich bokach.
\(\displaystyle \frac{\textrm{obszar }\triangle ABC}{\textrm{obszar }\triangle DEF} = \) \(\displaystyle \frac{BC^2}{EF^2} = \frac{AB^2}{DE^2}= \frac{AC^2}{DF^2}\)
Przykład 1: W \(\triangle ABC, PQ \parallel BC\) . Jeśli AP/ \(PB\) = 1/2 i AQ = 2 cm, znajdź QC.
Ponieważ PQ jest równoległa do BC, zatem
\(\displaystyle \frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}\)
\(\displaystyle\frac{1}{2} = \frac{2}{QC}\) ⇒ \(\displaystyle QC = 2 \times 2 = 4\)
Przykład 2: Trójkąt \(\triangle ABD, \triangle ACD \) są podobne. BD = 2 cm i AB = 3 cm. Jeśli pole trójkąta \(\triangle ABD \) wynosi 2 cm 2 , oblicz pole \( \triangle ACD \) .
\(\displaystyle \frac{\textrm{obszar }\triangle ABD}{\textrm{obszar }\triangle ADC} = \frac{4}{DC^2} = \frac{9}{AC^2}\)
\( \frac{2}{\textrm{Obszar }\triangle ADC} = \frac{4}{9}\)
\(\textrm{Obszar }\triangle ADC = \frac{2 \times 9}{4} = 4.5 cm^2\)
