Semelhanças entre figuras
Duas figuras são ditas semelhantes se elas têm o mesmo formato, mas não necessariamente o mesmo tamanho. As figuras a seguir mostram círculos semelhantes e triângulos semelhantes.
Semelhança de Triângulos: Dois triângulos que têm os três ângulos de um triângulo iguais respectivamente aos três ângulos do outro triângulo e todas as razões entre as medidas dos lados correspondentes iguais são considerados semelhantes.
De acordo com a definição, o triângulo ABC é semelhante ao triângulo PQR , \(\triangle ABC \sim \triangle PQR\) se:
Então, a semelhança de triângulos requer duas coisas:
1. Ângulo-Ângulo-Ângulo ( \(AAA\) ) AXIOMA DA SIMILARIDADE
Se dois triângulos têm dois pares de ângulos iguais, seus lados correspondentes são proporcionais. No triângulo ABC e \(DEF\) , \(\displaystyle \angle A = \angle D, \angle B = \angle E, \angle C = \angle F\) , então \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) , que é
\(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\)
2. AXIOMA DE SIMILARIDADE Lado-Ângulo-Lado ( \(SAS\) )
Se dois triângulos têm um par de ângulos correspondentes iguais e lados, incluindo-os, proporcionais, então os triângulos são semelhantes.
Se no triângulo ABC e \(DEF\)
3. Lado-Lado-Lado ( \(SSS\) ) AXIOMA DA SEMELHANÇA
Se dois triângulos têm seus pares de lados correspondentes proporcionais, então os triângulos são semelhantes. Se dois triângulos ABC e \(DEF\) , \(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\) então \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)
Uma linha reta traçada paralelamente a um lado de um triângulo divide os outros dois lados proporcionalmente. Por outro lado, se uma linha divide quaisquer dois lados de um triângulo proporcionalmente, então a linha é paralela ao terceiro lado.
Em \(\triangle ABC, \ DE \parallel BC\) então
\(\displaystyle \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)
As áreas de triângulos semelhantes são proporcionais aos quadrados dos lados correspondentes.
\(\displaystyle \frac{\textrm{área de }\triangle ABC}{\textrm{área de }\triangle DEF} = \) \(\displaystyle \frac{BC^2}{EF^2} = \frac{AB^2}{DE^2}= \frac{AC^2}{DF^2}\)
Exemplo 1: Em \(\triangle ABC, PQ \parallel BC\) . Se AP/ \(PB\) = 1/2 e AQ = 2 cm. Encontre QC.
Como PQ é paralelo a BC, portanto
\(\displaystyle \frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}\)
\(\displaystyle\frac{1}{2} = \frac{2}{QC}\) ⇒ \(\displaystyle QC = 2 \times 2 = 4\)
Exemplo 2: Triângulo \(\triangle ABD, \triangle ACD \) são semelhantes. BD = 2 cm e AB = 3 cm. Se a área do triângulo \(\triangle ABD \) é 2 cm 2 , calcule a área de \( \triangle ACD \) .
\(\displaystyle \frac{\textrm{área de }\triangle ABD}{\textrm{área de }\triangle ADC} = \frac{4}{DC^2} = \frac{9}{AC^2}\)
\( \frac{2}{\textrm{Área de }\triangle ADC} = \frac{4}{9}\)
\(\textrm{Área de }\triangle ADC = \frac{2 \times 9}{4} = 4.5 cm^2\)
