Back to the topics list

подобие в треугольниках

Сходства между фигурами

Две фигуры называются подобными, если они имеют одинаковую форму, но не обязательно одинаковый размер. На следующих рисунках показаны подобные круги и подобные треугольники.

Подобие треугольников: Два треугольника, у которых три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника и все отношения между степенями соответствующих сторон равны, называются подобными.

Согласно определению, треугольник ABC подобен треугольнику PQR, \(\triangle ABC \sim \triangle PQR\) если:

1. \(\displaystyle \frac{a}{p} = \frac{b}{q} = \frac{c}{r}\)
2. \(\displaystyle \angle A = \angle P, \angle B = \angle Q, \angle C = \angle R\)

Итак, подобие треугольников требует двух условий:

• Соответственные углы должны быть равны
• Соответствующие стороны должны быть пропорциональны

ТРИ ТЕСТА НА ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

1. Угол-Угол-Угол ( \(AAA\) ) АКСИОМА ПОДОБИЯ

Если два треугольника имеют две пары равных углов, их соответствующие стороны пропорциональны. В треугольнике ABC и \(DEF\) , \(\displaystyle \angle A = \angle D, \angle B = \angle E, \angle C = \angle F\) , тогда \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) , то есть
\(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\)

2. АКСИОМА ПОДОБИЯ «Сторона-Угол-Сторона» ( \(SAS\) )

Если у двух треугольников пара соответствующих углов равна, а стороны, их охватывающие, пропорциональны, то такие треугольники подобны.

Если в треугольнике ABC и \(DEF\) , \(\angle A = \angle D\) и \(\frac{AB} { DE} = \frac{AC}{DF}\) тогда \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)

3. АКСИОМА ПОДОБИЯ «сторона-сторона-сторона» ( \(SSS\) )

Если у двух треугольников пары соответствующих сторон пропорциональны, то треугольники подобны. Если два треугольника ABC и \(DEF\) , \(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\) то \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)

Теорема 1

Прямая линия, проведенная параллельно одной стороне треугольника, делит две другие стороны пропорционально. И наоборот, если линия делит любые две стороны треугольника пропорционально, то она параллельна третьей стороне.

В \(\triangle ABC, \ DE \parallel BC\) тогда

\(\displaystyle \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)

Теорема 2

Площади подобных треугольников пропорциональны квадратам соответствующих сторон.

\(\displaystyle \frac{\textrm{площадь }\triangle ABC}{\textrm{площадь }\triangle DEF} = \) \(\displaystyle \frac{BC^2}{EF^2} = \frac{AB^2}{DE^2}= \frac{AC^2}{DF^2}\)

Пример 1: В \(\triangle ABC, PQ \parallel BC\) . Если AP/ \(PB\) = 1/2 и AQ = 2 см. Найдите QC.

Так как PQ параллельна BC, то
\(\displaystyle \frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}\)

\(\displaystyle\frac{1}{2} = \frac{2}{QC}\) ⇒ \(\displaystyle QC = 2 \times 2 = 4\)

Пример 2: Треугольники \(\triangle ABD, \triangle ACD \) подобны. BD = 2 см и AB = 3 см. Если площадь треугольника \(\triangle ABD \) равна 2 см ² , вычислите площадь \( \triangle ACD \) .

\(\displaystyle \frac{\textrm{площадь }\triangle ABD}{\textrm{площадь }\triangle ADC} = \frac{4}{DC^2} = \frac{9}{AC^2}\)

\( \frac{2}{\textrm{Площадь }\triangle ADC} = \frac{4}{9}\)

\(\textrm{Площадь }\triangle ADC = \frac{2 \times 9}{4} = 4.5 cm^2\)