Back to the topics list

ngjashmëria në trekëndësha

Ngjashmëritë midis figurave

Dy figura thuhet se janë të ngjashme nëse kanë të njëjtën formë, por jo domosdoshmërisht të njëjtën madhësi. Shifrat e mëposhtme tregojnë rrathë të ngjashëm dhe trekëndësha të ngjashëm.

Ngjashmëria e trekëndëshave: Dy trekëndësha të cilët kanë tre këndet e një trekëndëshi të barabartë përkatësisht me tre këndet e trekëndëshit tjetër dhe të gjitha raportet ndërmjet masës së brinjëve përkatëse të barabarta quhen të ngjashme.

Sipas përkufizimit, trekëndëshi ABC është i ngjashëm me trekëndëshin PQR, \(\triangle ABC \sim \triangle PQR\) nëse:

1. \(\displaystyle \frac{a}{p} = \frac{b}{q} = \frac{c}{r}\)
2. \(\displaystyle \angle A = \angle P, \angle B = \angle Q, \angle C = \angle R\)

Pra, ngjashmëria e trekëndëshave kërkon dy gjëra:

• Këndet përkatëse duhet të jenë të barabarta
• Palët përkatëse duhet të jenë proporcionale

TRE TESTE PËR ngjashmërinë e trekëndëshave

1. Angle-Angle-Angle ( \(AAA\) ) AXIOMË E ngjashmërisë

Nëse dy trekëndësha kanë dy palë kënde të barabarta, brinjët e tyre përkatëse janë proporcionale. Në trekëndëshin ABC dhe \(DEF\) , \(\displaystyle \angle A = \angle D, \angle B = \angle E, \angle C = \angle F\) , pastaj \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) , domethënë
\(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\)

2. Side-Angle-Side ( \(SAS\) ) AXIOMË E ngjashmërisë

Nëse dy trekëndësha kanë një çift këndesh përkatës të barabartë dhe brinjët duke i përfshirë ato proporcionale, atëherë trekëndëshat janë të ngjashëm.

Nëse në trekëndëshin ABC dhe \(DEF\) , \(\angle A = \angle D\) dhe \(\frac{AB} { DE} = \frac{AC}{DF}\) pastaj \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)

3. Side-Side-Side ( \(SSS\) ) AXIOMË E ngjashmërisë

Nëse dy trekëndësha i kanë çiftet e brinjëve përkatëse proporcionale, atëherë trekëndëshat janë të ngjashëm. Nëse dy trekëndësha ABC dhe \(DEF\) , \(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\) atëherë \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)

Teorema 1

Një vijë e drejtë e tërhequr paralelisht me njërën anë të një trekëndëshi ndan dy brinjët e tjera proporcionalisht. Në të kundërt, nëse një drejtëz ndan çdo dy anë të një trekëndëshi në mënyrë proporcionale, atëherë drejtëza është paralele me anën e tretë.

Në \(\triangle ABC, \ DE \parallel BC\) atëherë

\(\displaystyle \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)

Teorema 2

Zonat e trekëndëshave të ngjashëm janë në përpjesëtim me katrorët në brinjët përkatëse.

\(\displaystyle \frac{\textrm{zona e }\triangle ABC}{\textrm{zona e }\triangle DEF} = \) \(\displaystyle \frac{BC^2}{EF^2} = \frac{AB^2}{DE^2}= \frac{AC^2}{DF^2}\)

Shembulli 1: Në \(\triangle ABC, PQ \parallel BC\) . Nëse AP/ \(PB\) = 1/2 dhe AQ = 2 cm. Gjeni QC.

Prandaj, pasi PQ është paralel me BC
\(\displaystyle \frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}\)

\(\displaystyle\frac{1}{2} = \frac{2}{QC}\) ⇒ \(\displaystyle QC = 2 \times 2 = 4\)

Shembulli 2: Trekëndëshi \(\triangle ABD, \triangle ACD \) janë të ngjashëm. BD = 2 cm dhe AB = 3 cm. Nëse sipërfaqja e trekëndëshit \(\triangle ABD \) është 2 cm ² , llogaritni sipërfaqen e \( \triangle ACD \) .

\(\displaystyle \frac{\textrm{zona e }\triangle ABD}{\textrm{zona e }\triangle ADC} = \frac{4}{DC^2} = \frac{9}{AC^2}\)

\( \frac{2}{\textrm{Zona e }\triangle ADC} = \frac{4}{9}\)

\(\textrm{Zona e }\triangle ADC = \frac{2 \times 9}{4} = 4.5 cm^2\)