Back to the topics list

likhet i trianglar

Likheter mellan figurer

Två figurer sägs vara lika om de har samma form men inte nödvändigtvis samma storlek. Följande figurer visar liknande cirklar och liknande trianglar.

Likhet mellan trianglar: Två trianglar som har de tre vinklarna i en triangel lika med de tre vinklarna i den andra triangeln och alla förhållanden mellan måttet på motsvarande sidor lika sägs vara lika.

Enligt definitionen liknar triangel ABC triangel PQR , \(\triangle ABC \sim \triangle PQR\) om:

1. \(\displaystyle \frac{a}{p} = \frac{b}{q} = \frac{c}{r}\)
2. \(\displaystyle \angle A = \angle P, \angle B = \angle Q, \angle C = \angle R\)

Så likheten mellan trianglar kräver två saker:

• Motsvarande vinklar måste vara lika
• Motsvarande sidor måste vara proportionella

TRE TEST FÖR LIKHET I TREANGLAR

1. Vinkel-vinkel-vinkel ( \(AAA\) ) LIKHETSAXIOM

Om två trianglar har två par av vinklar lika, är deras motsvarande sidor proportionella. I triangel ABC och \(DEF\) , \(\displaystyle \angle A = \angle D, \angle B = \angle E, \angle C = \angle F\) , sedan \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) , det vill säga
\(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\)

2. Side-Angle-Side ( \(SAS\) ) LIKHETSAXIOM

Om två trianglar har ett par motsvarande vinklar lika och sidorna inklusive dem proportionella så är trianglarna lika.

Om i triangel ABC och \(DEF\) , \(\angle A = \angle D\) och \(\frac{AB} { DE} = \frac{AC}{DF}\) sedan \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)

3. Side-Side-Side ( \(SSS\) ) LIKHETSAXIOM

Om två trianglar har sina par av motsvarande sidor proportionella så är trianglarna lika. Om två trianglar ABC och \(DEF\) , \(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\) då \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)

Sats 1

En rät linje dragen parallellt med en sida av en triangel delar de andra två sidorna proportionellt. Omvänt, om en linje delar två sidor av en triangel proportionellt så är linjen parallell med den tredje sidan.

I \(\triangle ABC, \ DE \parallel BC\) då

\(\displaystyle \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)

Sats 2

Arean av liknande trianglar är proportionell mot kvadraterna på motsvarande sidor.

\(\displaystyle \frac{\textrm{område av }\triangle ABC}{\textrm{område av }\triangle DEF} = \) \(\displaystyle \frac{BC^2}{EF^2} = \frac{AB^2}{DE^2}= \frac{AC^2}{DF^2}\)

Exempel 1: I \(\triangle ABC, PQ \parallel BC\) . Om AP/ \(PB\) = 1/2 och AQ = 2 cm. Hitta QC.

Eftersom PQ är parallell med BC, därför
\(\displaystyle \frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}\)

\(\displaystyle\frac{1}{2} = \frac{2}{QC}\) ⇒ \(\displaystyle QC = 2 \times 2 = 4\)

Exempel 2: Triangel \(\triangle ABD, \triangle ACD \) är liknande. BD = 2 cm och AB = 3 cm. Om arean av triangeln \(\triangle ABD \) är 2 cm ² , beräkna arean av \( \triangle ACD \) .

\(\displaystyle \frac{\textrm{område av }\triangle ABD}{\textrm{område av }\triangle ADC} = \frac{4}{DC^2} = \frac{9}{AC^2}\)

\( \frac{2}{\textrm{Område av }\triangle ADC} = \frac{4}{9}\)

\(\textrm{Område av }\triangle ADC = \frac{2 \times 9}{4} = 4.5 cm^2\)