Back to the topics list

ความคล้ายคลึงกันในรูปสามเหลี่ยม

ความคล้ายคลึงกันระหว่างตัวเลข

รูปร่างสองรูปจะถือว่ามีความคล้ายคลึงกันก็ต่อเมื่อมีรูปร่างเหมือนกัน แต่ไม่จำเป็นต้องมีขนาดเท่ากัน รูปต่อไปนี้แสดงให้เห็นวงกลมและสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

ความคล้ายของรูปสามเหลี่ยม: รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีมุมทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากันกับมุมทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมอีกอันตามลำดับ และอัตราส่วนระหว่างขนาดของด้านที่สอดคล้องกันทั้งหมดเท่ากัน เรียกว่ารูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

ตามนิยาม สามเหลี่ยม ABC จะคล้ายกับสามเหลี่ยม PQR ซึ่งก็คือ \(\triangle ABC \sim \triangle PQR\) ถ้า:

1. \(\displaystyle \frac{a}{p} = \frac{b}{q} = \frac{c}{r}\)
2. \(\displaystyle \angle A = \angle P, \angle B = \angle Q, \angle C = \angle R\)

ดังนั้นความคล้ายคลึงของรูปสามเหลี่ยมจึงต้องมี 2 สิ่ง:

• มุมที่สอดคล้องกันจะต้องเท่ากัน
• ด้านที่สอดคล้องกันจะต้องเป็นสัดส่วนกัน

แบบทดสอบสามประการสำหรับความคล้ายคลึงของรูปสามเหลี่ยม

1. มุม-มุม-มุม ( \(AAA\) ) สัจพจน์แห่งความคล้ายคลึง

หากรูปสามเหลี่ยมสองรูปมีมุมเท่ากันสองคู่ ด้านที่สอดคล้องกันของรูปสามเหลี่ยมทั้งสองนั้นจะแปรผันตามสัดส่วน ในสามเหลี่ยม ABC และ \(DEF\) , \(\displaystyle \angle A = \angle D, \angle B = \angle E, \angle C = \angle F\) ดังนั้น \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) นั่นคือ
\(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\)

2. ด้าน-มุม-ด้าน ( \(SAS\) ) สัจพจน์แห่งความคล้ายคลึง

หากรูปสามเหลี่ยมสองรูปมีมุมที่สอดคล้องกันเท่ากันสองคู่และมีด้านที่รวมมุมที่สอดคล้องกันเป็นสัดส่วนกัน รูปสามเหลี่ยมดังกล่าวก็จะคล้ายกัน

ถ้าอยู่ในสามเหลี่ยม ABC และ \(DEF\) , \(\angle A = \angle D\) และ \(\frac{AB} { DE} = \frac{AC}{DF}\) จากนั้น \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)

3. ข้าง-ข้าง-ข้าง ( \(SSS\) ) สัจพจน์แห่งความคล้ายคลึง

หากรูปสามเหลี่ยมสองรูปมีด้านที่สอดคล้องกันเป็นคู่ๆ สัดส่วนกัน รูปสามเหลี่ยมทั้งสองนั้นจะคล้ายกัน หากรูปสามเหลี่ยม ABC และ \(DEF\) , \(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\) แล้ว \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)

ทฤษฎีบทที่ 1

เส้นตรงที่ลากขนานกับด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมจะแบ่งด้านที่เหลือออกเป็นสองส่วนตามสัดส่วน ในทางกลับกัน หากเส้นตรงแบ่งด้านใดๆ สองด้านของรูปสามเหลี่ยมเป็นสัดส่วน เส้นตรงนั้นจะขนานกับด้านที่สาม

ใน \(\triangle ABC, \ DE \parallel BC\) แล้ว

\(\displaystyle \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)

ทฤษฎีบทที่ 2

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมคล้ายจะแปรผันตามพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านที่สอดคล้องกัน

\(\displaystyle \frac{\textrm{พื้นที่ของ }\triangle ABC}{\textrm{พื้นที่ของ }\triangle DEF} = \) \(\displaystyle \frac{BC^2}{EF^2} = \frac{AB^2}{DE^2}= \frac{AC^2}{DF^2}\)

ตัวอย่างที่ 1: ใน \(\triangle ABC, PQ \parallel BC\) ถ้า AP/ \(PB\) = 1/2 และ AQ = 2 ซม. หา QC

เนื่องจาก PQ ขนานกับ BC ดังนั้น
\(\displaystyle \frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}\)

\(\displaystyle\frac{1}{2} = \frac{2}{QC}\) ⇒ \(\displaystyle QC = 2 \times 2 = 4\)

ตัวอย่างที่ 2: สามเหลี่ยม \(\triangle ABD, \triangle ACD \) มีลักษณะคล้ายกัน BD = 2 ซม. และ AB = 3 ซม. ถ้าพื้นที่ของสามเหลี่ยม \(\triangle ABD \) เท่ากับ 2 ซม. ² จงคำนวณพื้นที่ของ \( \triangle ACD \)

\(\displaystyle \frac{\textrm{พื้นที่ของ }\triangle ABD}{\textrm{พื้นที่ของ }\triangle ADC} = \frac{4}{DC^2} = \frac{9}{AC^2}\)

\( \frac{2}{\textrm{พื้นที่ของ }\triangle ADC} = \frac{4}{9}\)

\(\textrm{พื้นที่ของ }\triangle ADC = \frac{2 \times 9}{4} = 4.5 cm^2\)