Şekiller arasındaki benzerlikler
İki şeklin aynı şekle sahip olması ancak aynı boyutta olması gerekmemesi durumunda benzer olduğu söylenir. Aşağıdaki şekiller benzer daireleri ve benzer üçgenleri göstermektedir.
Üçgenlerin Benzerliği: Bir üçgenin üç açısı diğer üçgenin üç açısına eşit olan ve karşılıklı kenarlarının ölçüleri arasındaki oranlar eşit olan iki üçgene benzer üçgenler denir.
Tanıma göre, ABC üçgeni PQR üçgenine benzerdir, \(\triangle ABC \sim \triangle PQR\) eğer:
Yani üçgenlerin benzerliği iki şeye bağlıdır:
1. Açı-Açı-Açı ( \(AAA\) ) BENZERLİK AKSİYOMU
İki üçgenin iki çift açısı eşitse, karşılık gelen kenarları orantılıdır. ABC ve \(DEF\) üçgeninde, \(\displaystyle \angle A = \angle D, \angle B = \angle E, \angle C = \angle F\) , o zaman \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\) , yani
\(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\)
2. Yan-Açı-Kenar ( \(SAS\) ) BENZERLİK AKSİYAMOMU
Eğer iki üçgenin karşılıklı açıları eşit ve bu açıları içeren kenarları orantılı ise bu üçgenler benzerdir.
Eğer üçgen ABC ve \(DEF\) ise
3. Yan-Yan-Yan ( \(SSS\) ) BENZERLİK AKSİYAMOMU
İki üçgenin karşılıklı kenar çiftleri orantılıysa, üçgenler benzerdir. İki üçgen ABC ve \(DEF\) ise, \(\displaystyle \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}\) o zaman \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)
Bir üçgenin bir kenarına paralel çizilen düz bir çizgi diğer iki kenarı orantılı olarak böler. Tersine, bir çizgi bir üçgenin herhangi iki kenarını orantılı olarak bölüyorsa, o zaman çizgi üçüncü kenara paraleldir.
\(\triangle ABC, \ DE \parallel BC\) 'de o zaman
\(\displaystyle \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)
Benzer üçgenlerin alanları, karşılıklı kenarlarındaki karelerin alanları ile orantılıdır.
\(\displaystyle \frac{\textrm{alanı }\triangle ABC}{\textrm{alanı }\triangle DEF} = \) \(\displaystyle \frac{BC^2}{EF^2} = \frac{AB^2}{DE^2}= \frac{AC^2}{DF^2}\)
Örnek 1: \(\triangle ABC, PQ \parallel BC\) . Eğer AP/ \(PB\) = 1/2 ve AQ = 2 cm ise QC'yi bulun.
PQ, BC'ye paralel olduğundan,
\(\displaystyle \frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}\)
\(\displaystyle\frac{1}{2} = \frac{2}{QC}\) ⇒ \(\displaystyle QC = 2 \times 2 = 4\)
Örnek 2: Üçgen \(\triangle ABD, \triangle ACD \) benzerdir. BD = 2 cm ve AB = 3 cm'dir. \(\triangle ABD \) üçgeninin alanı 2 cm 2 ise \( \triangle ACD \) nin alanını hesaplayınız.
\(\displaystyle \frac{\textrm{alanı }\triangle ABD}{\textrm{alanı }\triangle ADC} = \frac{4}{DC^2} = \frac{9}{AC^2}\)
\( \frac{2}{\textrm{Alanı }\triangle ADC} = \frac{4}{9}\)
\(\textrm{Alanı }\triangle ADC = \frac{2 \times 9}{4} = 4.5 cm^2\)
